Identitäts-/Offenheitsprinzip < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:23 Mi 04.07.2012 | | Autor: | mathe456 |
Hi,
ich habe hier eine Aufgabe mit Lösung, versteh das aber irgendwie nicht:
Es sei [mm] G\subset \IC [/mm] ein Gebiet, [mm] f\inH(G) [/mm] und [mm] g\in H(\IC). [/mm] Zeigen Sie: Ist g [mm] \circ [/mm] f konstant, so ist entweder f oder g konstant.
Lösung: Es sei [mm] g\circ [/mm] f [mm] \equiv [/mm] c. Dann ist entweder g konstant oder, wenn g nicht konstant ist, die Menge der c-Stellen von g besitzt nach dem Identitätsprinzip keinen Häufungspunkt, also auch keine
inneren Punkte. Da f(G) eine Teilmenge der c-Stellen von g ist, muss dann f nach dem Offenheitsprinzip konstant sein.
Ich versteh gar nicht, was das Identitätsprinzip mit Häufungspunkten zu tun hat...
Und wie kommt man darauf, dass f(G) nicht offen ist, also konstant sein muss?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:50 Mi 04.07.2012 | | Autor: | SEcki |
> Ich versteh gar nicht, was das Identitätsprinzip mit
> Häufungspunkten zu tun hat...
Naja, sei [m]a_n\to a[/m] eine Folge mit [m]h(a_n)=i(a_n)[/m] für alle n, h und i holomoprh, dann ist [m]h=i[/m]. Mit HP wäre also [m]g\equiv c[/m]/
> Und wie kommt man darauf, dass f(G) nicht offen ist, also
> konstant sein muss?
Die Stellen mit [m]g=c[/m] sind isolierte, einzelne Punkte, also nicht offen.
SEcki
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