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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 Sa 07.04.2007 | | Autor: | cake |
| Aufgabe | Man entscheide in welchem Fall eine im Nullpunkt holomorphe Funktion f existiert mit f(1/n) = ... für n = 1, 2, 3, ...
(i) 0, 1/2, 0, 1/4, 0, 1/6, 0, ...
(ii)1/2, 1/2, 1/4, 1/4, 1/6, 1/6, ...
(iii) 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, ... |
Der Identitätssatz ist mir bekannt, leider komme ich mit ihm überhaupt nicht klar. Ich verstehe auch das Bsp im Wiki nicht. (Die Lösung der AUfgaben ist mir auch bekannt, verstehs aber trotzdem nich:-()
Starte ich mit (ii) des Id.-Satzes?
Also ich nehme an g(z) = 0 sei die konstante 0Funktion mit der ich f(z), daß ich noch definieren muß, vergleiche. bzw. diese Kondolenzmenge. Mir ist nicht klar wo in der Lösung derKnackpunkt liegt und welche Implikation wichtig ist. Betrachte ich also für Aufgabenteil (i) die Funktion:[mm]
f(\bruch{1}{n})=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \\ \bruch{1}{n}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \end{cases}[/mm]
Das sind die beiden Funktionen die in einem Gebiet um 0 holomorph also gleich werden sollen?? Verstehe ich die Aufgabe richtig?
Das Gebiet sei dann [mm]U\subset\IC[/mm] offen mit 0[mm]\in[/mm]U
0 ist auch Hfgspkt dieser Menge, nach dem Identitätssatz muß also nur noch gesichert sien daß die Funktionen holomorph sind und diese Koinsidenzmenge besteht?
In der Lösung wird angenommen f sei holomorph. Und "nach dem Id.-satz wäre dann die Zusammenhangskomponente (?) von U die den Nullpunkt beinhaltet, konstant = 0. Widerspruch zu [mm]f(\bruch{1}{2}) = \bruch{3}{4}[/mm]
Was ist jetzt genau das Problem vor allem im Vergleich zu aufgabenteil (iii), wo[mm] f(z)=\bruch{1}{1+z}. [/mm] Und das ist dann immer = 0??? häh? also das geht mehr gegen null als das (i) aber im Prinzip geht das doch auf 1/n und das geht auch gegen null.
Also das ist ja sicher auch die Falle ind er AUfgabe..... Hilfe, bitte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:48 So 08.04.2007 | | Autor: | felixf |
> Man entscheide in welchem Fall eine im Nullpunkt holomorphe
> Funktion f existiert mit f(1/n) = ... für n = 1, 2, 3,
> ...
> (i) 0, 1/2, 0, 1/4, 0, 1/6, 0, ...
> (ii)1/2, 1/2, 1/4, 1/4, 1/6, 1/6, ...
> (iii) 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, ...
> Der Identitätssatz ist mir bekannt, leider komme ich mit
> ihm überhaupt nicht klar. Ich verstehe auch das Bsp im Wiki
> nicht. (Die Lösung der AUfgaben ist mir auch bekannt,
> verstehs aber trotzdem nich:-()
>
> Starte ich mit (ii) des Id.-Satzes?
Was ist denn (i) und (ii) des Id.-Satzes? Es gibt kein allgemein gueltiges Statement des Identitaetssatz. Ueberall wird er leicht anders formuliert.
> Also ich nehme an g(z) = 0 sei die konstante 0Funktion mit
> der ich f(z), daß ich noch definieren muß, vergleiche. bzw.
> diese Kondolenzmenge. Mir ist nicht klar wo in der Lösung
> derKnackpunkt liegt und welche Implikation wichtig ist.
> Betrachte ich also für Aufgabenteil (i) die Funktion:[mm]
f(\bruch{1}{n})=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \\ \bruch{1}{n}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \end{cases}[/mm]
Das ist eine Funktion definiert auf [mm] $\{ \frac{1}{n} \mid n \in \IN \}$. [/mm] Hier kann man nicht wirklich von einer `holomorphen Funktion' sprechen.
> Das sind die beiden Funktionen die in einem Gebiet um 0
> holomorph also gleich werden sollen?? Verstehe ich die
> Aufgabe richtig?
Mehr oder weniger.
Geh doch etwas anders vor:
Angenommen, es gibt so eine Funktion $f : U [mm] \to \IC$ [/mm] mit $0 [mm] \in [/mm] U$, und $U$ ist offen. Dann gibt es ein [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] mit [mm] $\frac{1}{n} \in [/mm] U$ fuer alle $n [mm] \ge n_0$.
[/mm]
Betrachte jetzt die Funktion $0 : U [mm] \to \IC$, [/mm] $x [mm] \mapsto [/mm] 0$. Diese ist sicher holomorph.
Wenn du nun die Folge [mm] $a_n [/mm] := [mm] \frac{1}{2 (n + n_0) + 1}$, [/mm] $n [mm] \in \IN$ [/mm] betrachtest, so liegt diese in $U$ und haeuft sich dort (da der Haeufungswert $0$ in $U$ liegt), und es gilt [mm] $0(a_n) [/mm] = 0 = [mm] f(a_n)$.
[/mm]
Nach dem Identitaetssatz ist also $f = 0$, womit jedoch [mm] $f(\frac{1}{2 n}) [/mm] = 0$ sein muesste fuer $n > [mm] n_0$, [/mm] ein Widerspruch.
> Was ist jetzt genau das Problem vor allem im Vergleich zu
> aufgabenteil (iii), wo[mm] f(z)=\bruch{1}{1+z}.[/mm] Und das ist
> dann immer = 0??? häh? also das geht mehr gegen null als
> das (i) aber im Prinzip geht das doch auf 1/n und das geht
> auch gegen null.
Hier gibt es eine solche Funktion, die das erfuellt. (Und nach dem Identitaetssatz gibt es genau eine, aber das ist gar nicht gefragt.)
Was soll hier immer $= 0$ sein?
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:26 Mo 09.04.2007 | | Autor: | cake |
Hi, erstmal herzlichsten Dank für die Antwort!! Ich bin für jede Hilfe so dankbar ,denn ich stehe da wirklich furchtbar im Wald!
> > Starte ich mit (ii) des Id.-Satzes?
>
> Was ist denn (i) und (ii) des Id.-Satzes? Es gibt kein
> allgemein gueltiges Statement des Identitaetssatz. Ueberall
> wird er leicht anders formuliert.
>
[mm] \underline{Der Identitätssatz:}Seinen [/mm] f,g holomorph auf G, G Gebiet. Dann äq:
(i) f(z) = g(z) [mm]\forall z\inG[/mm]
(ii) Die Koinsidenzmenge [mm]\{z \in G: f(z) = g(z)\}[/mm] hat unendlich viele Punkte und besitzt Hfgspkt in G
(iii)[mm] \exists[/mm] c[mm]\in[/mm]G so daß [mm]f^{(n)}(z)=g^{(n)}(z) \forall n\le0[/mm]
> Geh doch etwas anders vor:
>
> Angenommen, es gibt so eine Funktion [mm]f : U \to \IC[/mm] mit [mm]0 \in U[/mm],
Das ist ein gesduchtes f(z) wie im Satz?
> und [mm]U[/mm] ist offen. Dann gibt es ein [mm]n_0 \in \IN[/mm] mit
> [mm]\frac{1}{n} \in U[/mm] fuer alle [mm]n \ge n_0[/mm].
>
Ist U die Koinsidenzmenge und 0 der Hfgspkt wie in (ii) des Satzes?
> Betrachte jetzt die Funktion [mm]0 : U \to \IC[/mm], [mm]x \mapsto 0[/mm].
> Diese ist sicher holomorph.
>
Könnte das jetzt g(z) im Satz sein? Die Vorraussetzungen müssen erfüllt werden also g holomorph und f soll möglichst hol sein?
> Wenn du nun die Folge [mm]a_n := \frac{1}{2 (n + n_0) + 1}[/mm], [mm]n \in \IN[/mm]
> betrachtest, so liegt diese in [mm]U[/mm] und haeuft sich dort (da
> der Haeufungswert [mm]0[/mm] in [mm]U[/mm] liegt), und es gilt [mm]0(a_n) = 0 = f(a_n)[/mm].
>
> Nach dem Identitaetssatz ist also [mm]f = 0[/mm],
an welcher Stelle des Id-satzes genau????
>womit jedoch [mm]f(\frac{1}{2 n}) = 0[/mm] sein muesste fuer [mm]n > >n_0[/mm], ein Widerspruch.
>
Mir ist nicht richtig klar, wo der Beweis ansetzt und wie die Implikationen benutzt werden.
Im Moment sieht es für mich so aus, also ob (ii) gezeigt werden würde und dann verstehe ich den Widerspruch nicht.
Ich brauche ja nicht die Lösung, ich kann keinen Transfer zum satz herstellen.
Deine Lösung ist glaube ich wie im Buch, hier ist sie:
Ang. f wäre holomorph auf U [mm](0\in[/mm]U[mm]\subset\IC[/mm] offen) und eine solche gesuchte Funktion, dann würde f auf der Menge M:=[mm]\{\bruch{1}{n}: n\in\IN [/mm]ungerade[mm]\} \capU[/mm], die in [mm]0 \in [/mm]U einen Hfgspkt. hat, mit der Nullfunktion übereinstimmen.
Nach dem Identitätssatz wäre dann f auf der Zusammenhangskomponente, die den Nullpunkt beinhaltet, konstant = 0. Widerspruch zu [mm]f(\bruch{1}{2})=\bruch{1}{2}[/mm]
Was ist U? Was ist M? Was ist [mm]f(\bruch{1}{2})[/mm] im Satz? Welche Dinge muß ich zeigen??
>
> Was soll hier immer [mm]= 0[/mm] sein?
Nach deiner Antwort denke ich, ich suche f(z) mit z=[mm]{\bruch{1}{n}[/mm] so daß f zu g(z)=0 (konst) holomorph und also def ich f nach aufgabe und versuche (ii) des Satzes zz?
Hm f(z) soll gleich g(z) sein? Also 0? und für [mm]f(\bruch{1}{n})[/mm] =[mm]\bruch{1}{n}[/mm]geht es nicht aber für f(z)=[mm]\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}}[/mm] aus Aufgabenteil(iii) schon?
Nochmals Danke für die Mühe!
Liebe Grüße und frohe Ostern!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mi 11.04.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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