Identitätssatz für holom. Fkt. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:35 Di 15.06.2010 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Sei [mm] $D\subset\IC$ [/mm] ein Gebiet und seien [mm] $f,g:D\to\IC$ [/mm] holomorph und nullstellenfrei. Sei weiter [mm] $z_{0}\in{D}$ [/mm] und [mm] $(z_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Folge aus [mm] $D\backslash{\{z_0\}}$, [/mm] die für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen [mm] $z_0$ [/mm] konvergiert. Zeigen sie, dass dann gilt:
[mm] \frac{f'(z_{n})}{f(z_{n})}=\frac{g'(z_{n})}{g(z_{n})} [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$[/mm] [mm]\Rightarrow [/mm] Es ex. [mm] $c\in\IC: [/mm] f=cg$ |
Hallo,
ich hänge bei obiger Aufgabe fest.
Ich bin so weit gekommen:
[mm]\frac{f'(z_{n})}{f(z_{n})}=\frac{g'(z_{n})}{g(z_{n})}[/mm] sind wohldefiniert, da die Nenner [mm] $\not=0$ [/mm] und sind holomorph auf $D$, da $f,f',g,g'$ holomorph.
Da [mm] $(z_n)_{n\in\IN}, z_{n}\to{z_{0}} (n\to\infty), z_{n}\not=z_{0}$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$, [/mm] folgt nach dem Identitätssatz, dass [mm] \frac{f'(z)}{f(z)}=\frac{g'(z)}{g(z)} [/mm] für alle [mm] $z\in\IC$.
[/mm]
Wie kommen ich jetzt hier weiter, ich hab das Gefühl, dass ich ziemlich auf dem Schlauch stehe.
Vielen Dank für eure Hilfe.
Grüße, Lippel
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Hallo Lippel,
> Sei [mm]D\subset\IC[/mm] ein Gebiet und seien [mm]f,g:D\to\IC[/mm] holomorph
> und nullstellenfrei. Sei weiter [mm]z_{0}\in{D}[/mm] und
> [mm](z_n)_{n\in\IN}[/mm] eine Folge aus [mm]D\backslash{\{z_0\}}[/mm], die
> für [mm]n\to\infty[/mm] gegen [mm]z_0[/mm] konvergiert. Zeigen sie, dass
> dann gilt:
>
> [mm]\frac{f'(z_{n})}{f(z_{n})}=\frac{g'(z_{n})}{g(z_{n})}[/mm] für
> alle [mm]n\in\IN[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] Es ex. [mm]c\in\IC: f=cg[/mm]
> Hallo,
> ich hänge bei obiger Aufgabe fest.
>
> Ich bin so weit gekommen:
> [mm]\frac{f'(z_{n})}{f(z_{n})}=\frac{g'(z_{n})}{g(z_{n})}[/mm] sind
> wohldefiniert, da die Nenner [mm]\not=0[/mm] und sind holomorph auf
> [mm]D[/mm], da [mm]f,f',g,g'[/mm] holomorph.
> Da [mm](z_n)_{n\in\IN}, z_{n}\to{z_{0}} (n\to\infty), z_{n}\not=z_{0}[/mm]
> für alle [mm]n\in\IN[/mm], folgt nach dem Identitätssatz, dass
> [mm]\frac{f'(z)}{f(z)}=\frac{g'(z)}{g(z)}[/mm] für alle [mm]z\in\IC[/mm].
>
> Wie kommen ich jetzt hier weiter, ich hab das Gefühl, dass
> ich ziemlich auf dem Schlauch stehe.
Da f,g holomorph, [mm] g\not= [/mm] 0, ist auch [mm] \frac{f}{g} [/mm] holomorph, und es ist
[mm] $\left(\frac{f}{g}\right)' [/mm] = Quotientenregel = 0$ (wegen der oben von dir nachgewiesenen Identität).
Das heißt zusammen mit D Gebiet? 
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:48 Di 15.06.2010 | | Autor: | Lippel |
Super, vielen Dank Stefan, habs verstanden.
Viele Grüße, Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:57 Di 15.06.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]D\subset\IC[/mm] ein Gebiet und seien [mm]f,g:D\to\IC[/mm] holomorph
> und nullstellenfrei. Sei weiter [mm]z_{0}\in{D}[/mm] und
> [mm](z_n)_{n\in\IN}[/mm] eine Folge aus [mm]D\backslash{\{z_0\}}[/mm], die
> für [mm]n\to\infty[/mm] gegen [mm]z_0[/mm] konvergiert. Zeigen sie, dass
> dann gilt:
>
> [mm]\frac{f'(z_{n})}{f(z_{n})}=\frac{g'(z_{n})}{g(z_{n})}[/mm] für
> alle [mm]n\in\IN[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] Es ex. [mm]c\in\IC: f=cg[/mm]
Auch wenn es vielleicht niemanden interessiert, eine Anmerkung warum das so ist:
Ist $f$ eine (schoen genuge) Funktion, so bezeichnet man [mm] $\frac{f'}{f}$ [/mm] als die logarithmische Ableitung von $f$: diesen Namen kann man sich so erklaeren, dass man annimmt, dass man die Funktion [mm] $\log [/mm] f$ betrachtet und ableitet -- das Ergebnis ist dann nach der Kettenregel [mm] $\frac{f'}{f}$.
[/mm]
Wenn also die logarithmische Ableitung zweier Funktionen $f$ und $g$ gleich ist, ist also die Ableitung von [mm] $\log [/mm] f$ und [mm] $\log [/mm] g$ gleich -- womit [mm] $\log [/mm] f = [mm] \log [/mm] g + c$ ist fuer eine Konstante $c$. Da $c = [mm] \log e^c$ [/mm] ist, folgt somit [mm] $\log [/mm] f = [mm] \log [/mm] g + [mm] \log e^c$, [/mm] also [mm] $\log \frac{f}{g e^c} [/mm] = 0$, also [mm] $\frac{f}{g} [/mm] = [mm] e^c [/mm] = C$ mit $C := [mm] e^c$ [/mm] konstant.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:10 Mi 16.06.2010 | | Autor: | Lippel |
Danke für die Erklärung Felix, wirklich interessant, vor allem, dass man diese "logarithmische Ableitung" bilden kann auf ganz [mm] $\IC$, [/mm] obwohl man ja keinen komplexen Logarithmus auf ganz [mm] $\IC$ [/mm] hat.
Grüße, Lippel
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