Image < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 Di 26.01.2010 | | Autor: | egal |
Abend Gemeinde,
angenommen ich habe eine Matrix. Wie bestimme ich da das image/Bild dieser. Ich weiß, dass man das durch "scharfes hingucken auch so sehen kann".
Ich suche nach einer universellen Methode.
[mm] \pmat{ 1& 0 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 0 & 4\\ 0 & 0 & 3 & 6}
[/mm]
nach Gauß aufgelöst kommt raus bei mir:
1 0 0 2 |0
0 2 0 4 |0
0 0 3 6 |0
ist nix anderes als in Einheitsform:
1 0 0 0 |0
0 1 0 0 |0
0 0 1 0 |0
d.h. im [mm] A=<\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 2 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 3}>
[/mm]
ist die Annahme korrekt?
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Hallo egal,
> Abend Gemeinde,
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> angenommen ich habe eine Matrix. Wie bestimme ich da das
> image/Bild dieser. Ich weiß, dass man das durch "scharfes
> hingucken auch so sehen kann".
>
> Ich suche nach einer universellen Methode.
>
> [mm]\pmat{ 1& 0 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 0 & 4\\ 0 & 0 & 3 & 6}[/mm]
>
> nach Gauß aufgelöst kommt raus bei mir:
>
> 1 0 0 2 |0
> 0 2 0 4 |0
> 0 0 3 6 |0
>
> ist nix anderes als in Einheitsform:
>
> 1 0 0 0 |0
> 0 1 0 0 |0
> 0 0 1 0 |0
>
> d.h. im [mm]A=<\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 2 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 3}>[/mm]
>
> ist die Annahme korrekt?
>
Ja, das die Annahme ist korrekt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Di 26.01.2010 | | Autor: | egal |
juhuu..
was ist mit dieser Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 3 &-1 & 0 \\ 0 & 0 &2 & 6}
[/mm]
durch scharfes Hinsehen, erkennt man, dass Spalte 1 und Spalte 3 lin. unabh.
Wenn ich Gauß mit einbeziehe:
1 3 -1 0 | 0
0 0 2 6 | 0
0 0 1 0 | v
0 0 0 1 |w
hier würde ich sagen Spalte 1, Spalte 3 und Spalte 4 . Die 4. fällt aber heraus, weshalb bzw. welchen Tipp beim ablesen könnt ihr mir geben?
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Hallo,
ich kapiere nicht worum es geht.
Naja, daß es um die Bestimmung des Bildes geht, habe ich schon mitbekommen, auch wenn Du es auf ausländisch schreibst.
Mir ist aber nicht klar, welche verbindung es zwischen Deinen beiden Matrizen gibt, und was bei der unteren die Buchstaben rechts sollen.
> was ist mit dieser Matrix:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 3 &-1 & 0 \\ 0 & 0 &2 & 6}[/mm]
>
> durch scharfes Hinsehen, erkennt man, dass Spalte 1 und
> Spalte 3 lin. unabh.
Ja, das sieht man sofort.
>
> Wenn ich Gauß mit einbeziehe:
>
> 1 3 -1 0 | 0
> 0 0 2 6 | 0
> 0 0 1 0 | v
> 0 0 0 1 |w
>
> hier würde ich sagen Spalte 1, Spalte 3 und Spalte 4 . Die
> 4. fällt aber heraus,
Wieso?
> weshalb bzw. welchen Tipp beim
> ablesen könnt ihr mir geben?
Einen brandheißen:
Nimm eine Matrix. Bring sie in Zeilenstufenform.
Spätestens morgen vormittag zeige ich Dir, wie Du eine Basis des Bildes ablesen kannst - falls es vorher niemand anders tut.
Gruß v. Angela
>
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:45 Di 26.01.2010 | | Autor: | egal |
Aalso liebe Angela,
Es soll das Bild dieser Matrix gezeigt werden:
[mm] \pmat{ 1 & 3 &-1 & 0 \\ 0 & 0 &2 & 6}
[/mm]
es gibt keine Verbindung, ist nur ne seperate Matrix, bei der ich gerne wissen würde, wie man vorgeht beim ablesen des Bildes.
Diese Matrix hat ja nämlich 4 Unbekannte und nur zwei Gleichungen, und das bereitet mir Schwierigkeiten beim ablesen des Bildes.
Demnach habe ich die Matrix erweitert und x3 den Namen v und x4 den Namen w gegeben.
Die vierte Spalte lässt sich als Linearkombination von der Ersten und der Dritten darstellen, demnach fällt die doch raus, sprich die 4. Spalte ist abhängig.
Werde mich übrigens bemühen künftig auf Deutsch zu schreiben 
EDIT:
1 3 -1 0 | 0
0 1 0 0 | v
0 0 2 6 | 0
0 0 0 1 |w
das wäre die klassische Zeilenstufenform. Abgelesen ergibt dann auch 1. Spalte und dritte Spalte als unabhängige Spalten, die das Bild sind, stimmts Angela?
so wars doch gemeint oder?
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> Aalso liebe Angela,
>
> Es soll das Bild dieser Matrix gezeigt werden:
>
> [mm]\pmat{ \red{1 }& 3 &-1 & 0 \\ 0 & 0 &\red{2} & 6}[/mm]
Hallo,
in der ZSF stehen hier die führenden Elemente der Nichtnullzeilen (es gibt ja gar keine Nullzeile) in der 1. und 3. Spalte.
Daraus weiß man, daß auf jeden Fall die erste und die 3. Spalte der Ursprungsmatrix (welche hier die Matrix selbst ist, weil ja nichts getan wurde, um auf ZSF zu kommen) zusammen eine Basis des Bildes sind.
das Bild wird also aufgespannt von [mm] (\vektor{1\\0}, \vektor{-1\\2}), [/mm] bei etwas Nachdenken stellt man fest, daß des Bild der ganze [mm] \IR^2 [/mm] ist.
Alternative:
Matrix transponieren, auf ZSF bringen.
Wenn man die Nichtnullzeilen wieder zu Spalten aufrichtet, hat man eine Basis des Bildes.
Du kannst ja beide Rezepte mal an etwas unbequemeren Matrizen versuchen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Di 26.01.2010 | | Autor: | egal |
Hey, danke Angela!
Mit der transformierten Matrix habe ich es auch schon versucht, das klappt auch wunderbar.
Nur habe ich hier eine Klausuraufgabe, mit der ich iwie gar nicht klar komme:
[mm] A=\pmat{ 1 & 2 &3 \\ 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 &2}
[/mm]
[mm] A^-1=\pmat{ 1 & 1 &0 \\ 2 & 1 & 1\\ 3 & 1 &2}
[/mm]
nach Gauß aufgelöst kommt bei mir folgendes heraus:
1 1 0 |0
0 -1 1 |0
0 0 0 |0
im [mm] (A)=<\vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ -1 \\ 1}>=<\vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{2 \\ 1 \\ 1}>
[/mm]
Wenn man aber schaut:
[mm] 0,5*A\overrightarrow{e}_1+0,5*A\overrightarrow{e}_3=A\overrightarrow{e}_2
[/mm]
und das widerspricht meiner Lösung...
Stehe deshalb aufm Schlauch augenblicklich.
Aber bis morgen
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> Hey, danke Angela!
>
> Mit der transformierten Matrix habe ich es auch schon
> versucht, das klappt auch wunderbar.
>
> Nur habe ich hier eine Klausuraufgabe, mit der ich iwie gar
> nicht klar komme:
>
> [mm]A=\pmat{ 1 & 2 &3 \\ 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 &2}[/mm]
>
>
> [mm]A^{-1}=\pmat{ 1 & 1 &0 \\ 2 & 1 & 1\\ 3 & 1 &2}[/mm]
Hallo,
die Matrix, die Du hier aufschreibst, ist nicht die Inverse, sondern die Transponierte, [mm] A^{T}.
[/mm]
(Der Weg über die Transponierte ist natürlich nicht der Königsweg, weil Du zur Bestimmung des Kerns danach ja sowieso die Matrix A auf ZSF bringen mußt.
Also doppelte Mühe - und immer die Gefahr, daß man durcheinander kommt beim Ablesen.)
>
> nach Gauß aufgelöst kommt bei mir folgendes heraus:
>
> 1 1 0 |0
> 0 -1 1 |0
> 0 0 0 |0
>
> im [mm](A)=<\vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ -1 \\ 1}>=<\vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{2 \\ 1 \\ 1}>[/mm]
>
> Wenn man aber schaut:
>
> [mm]0,5*A\overrightarrow{e}_1+0,5*A\overrightarrow{e}_3=A\overrightarrow{e}_2[/mm]
>
> und das widerspricht meiner Lösung...
Hm. Schade, daß Du den Widerspruch nicht deutlicher herausarbeitest. Es gibt nämlich keinen Widespruch, und es fällt mir schwer, dahinterzukommen, was Du denkst.
Deine Lösung sagt Dir, daß Du das Bild der Matrix, also alle Vektoren, die Du bekommst, wenn Du die Matrix mit irgendeinem Vektor des [mm] \IR^3 [/mm] multiplizierst, als Linearkombination Deiner beiden Vektoren schreiben kannst.
> [mm]0,5*A\overrightarrow{e}_1+0,5*A\overrightarrow{e}_3=A\overrightarrow{e}_2[/mm]
<==> [mm] -A\overrightarrow{e}_1+2A\overrightarrow{e}_2=A\overrightarrow{e}_3.
[/mm]
Wo also ist das Probem?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:25 Mi 27.01.2010 | | Autor: | egal |
[mm] 0,5\cdot{}A\overrightarrow{e}_1+0,5\cdot{}A\overrightarrow{e}_3=A\overrightarrow{e}_2
[/mm]
Also ich dachte es so:
Wenn sich [mm] A\overrightarrow{e}_2 [/mm] aus der Linearkombi. von [mm] A\overrightarrow{e}_1 [/mm] und [mm] A\overrightarrow{e}_3 [/mm] darstellen lassen, dann müssen [mm] A\overrightarrow{e}_1 [/mm] und [mm] A\overrightarrow{e}_3 [/mm] lin. unabh. sein und [mm] A\overrightarrow{e}_2 [/mm] entsprechend lin. abhängig. Zumindest wurde das so im Tutorium gesagt.
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Hallo,
vielleicht trifft dies Dein Problem:
Wir haben also die Matrix A mit den drei Spalten [mm] a_1, a_2, a_3,
[/mm]
und Du hattest festgestellt, daß [mm] (a_1, a_2) [/mm] eine Basis des Bildes sind.
Also ist [mm] (a_1, a_2) [/mm] linear unabhängig, und da es ein Erzeugendensystem ist, kann man [mm] a_3 [/mm] als Linearkombination von [mm] (a_1, a_2) [/mm] schreiben.
[mm] a_3 [/mm] ist linear abhängig von [mm] (a_1, a_2).
[/mm]
Es ist aber genauso [mm] (a_1, a_3) [/mm] eine Basis des Bildes.
Also ist [mm] (a_1, a_3) [/mm] linear unabhängig, und da es ein Erzeugendensystem ist, kann man [mm] a_2 [/mm] als Linearkombination von [mm] (a_1, a_3) [/mm] schreiben.
[mm] a_3 [/mm] ist linear abhängig von [mm] (a_1, a_3).
[/mm]
Und dasselbe trifft auf [mm] (a_2, a_3) [/mm] auch zu, und einen Widerspruch gibt's hier nicht, oder siehst Du noch einen?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:03 Mi 27.01.2010 | | Autor: | egal |
TOP, Angela!
Habs jetzt!
Vielen Dank
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