Immaginärteil der Lösung+DGL < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:32 Mo 23.08.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo Leute,
Sagt mal, bei den allbekannten Diffgleichungen (Homogene und Inhomogene DGL 2. Ordnung mit Konstanten Koeffizienten) gibt es ja
als Lösung einen Real und Immaginärteil.
z.B. als Lösung [mm] e^{-5*t}*(c_{1}*i*sin(wt) [/mm] + [mm] c_{2}*cos(wt)).
[/mm]
Jetzt schreibt man ja dann meist [mm] c_{1} [/mm] als [mm] c_{1}' [/mm] mit [mm] c_{1}' [/mm] = [mm] c_{1}*i, [/mm]
so hat man elegant das i verdeckt. Aber es ist ja noch da! Was heisst den das, dieser Immaginäre teil der Lösung? Wieso gilt der auch als Lösung? Ich meine, z.B. in der Elektrotechnik, wenn man eine Komplexe Resonanzfrequenz erhält, so bedeutet dies, dass keine Resonanzfrequenz im praktischen Sinne existiert.
Weshalb kommt es aber in dem anderen Fall bei einer DGL nur mit mitberücksichtigung des Immaginärteils als richtiges Ergebnis heraus? Müsste man nicht einfach auch den Sinus weglassen, und sagen "Das ist Immaginär, das hat nichts mit Praxis zu tun, existiert in (dieser) Welt nicht".
Gruss, Qsxqsx
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:06 Di 24.08.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
man geht ja meist in die komplexen Zahlen, um die Loesungen schoener zu schreiben. So zB bei den Schwingungen:
[mm] $\ddot{x} [/mm] + [mm] \omega^2x [/mm] = 0$
Da bekommt man dann mit dem [mm] $e^{\lambda t}$-Ansatz [/mm] zu:
[mm] $\lambda^2 [/mm] + [mm] \omega^2 [/mm] = 0$, also [mm] $\lambda [/mm] = [mm] \pm \mathrm{i}\omega$
[/mm]
Dann hat man also ein Loesungs-Fundamentalsystem [mm] $e^{\mathrm{i}\omega t}$ [/mm] und [mm] $e^{-\mathrm{i}\omega t}$
[/mm]
Da hat man dann ja auch noch "einen Imaginaerteil". Wenn wir jetzt aber fordern, dass die Loesung, also $x(t)= [mm] Ae^{\mathrm{i}\omega t} [/mm] + [mm] Be^{-\mathrm{i}\omega t}$ [/mm] reell sein sollte, dann legt das schon $A$ und $B$ fest, so dass man halt hier die Linearkombination 'den Anfangsbedingungen' anpassen muss.
Der 'Imaginaerteil' existiert halt immer noch, den man dann aber mit den passenden Anfangsbedingungen wieder 'rausfiltern' kann.
Mach zB mal eine Linearkomb. aus $x(t) = A [mm] e^{\mathrm{i}\omega t} [/mm] + B [mm] e^{-\mathrm{i}\omega t}$ [/mm] und fordere, dass $x(0) [mm] \equiv x_0 \in \mathbbm{R}$ [/mm] und [mm] $\dot{x}(0) \equiv v_0 \in\mathbbm{R}$, [/mm] dann wirst du herausfinden, dass das $A$ und $B$ schon so festlegt, dass aufmal $x(t) [mm] \in \mathbbm{R}$ [/mm] gilt.
Man darf halt nicht vergessen, dass es dann in solchen Faellen das Loesungsfundamentalsystem zweidimensional ist, und man dann hier eben linearkomb. muss.
Andererseits, wenn man zB solche Umschreibungen wie
[mm] $\cos(\omega [/mm] t) [mm] \equiv e^{\mathrm{i}\omega t}$ [/mm] macht, dann muss man halt eigentlich immer den Realteil davor schreiben, was man oft weglaesst, es sich aber dazudenkt. Das ist die andere, 'alternative', aber 'schlampige' Schreibweise, um Schwingungen zu beschreiben.
Wenn man aber, wie gesagt, Differentialgleichugnen loest, so bekommt man meist eine solche Loesung, die einen Real und Imaginaerteil hat, dann gibt es aber oft mehrere Loesungen, so dass man mit Hilfe einer Linearkombination die Loesung wieder reell machen kann.
Ich hoffe, die Antwort hilft dir ein wenig.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:31 Di 24.08.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Danke.
Ja, du bestätigs mir das es hald so ist wie es ist und mans so macht wie mans macht. Aber es ist hald doch verwirrend, dass man den Immaginärteil unter Umständen Ausser betracht lässt und unter anderen eben nicht.
Auch z.B. in der Geometrie, eine Lösung gilt ja nur als existent, wenn sie Real ist und auch Positiv (für eine Länge). Das ist doch interessant, dass man sich die Lösung (Elemente von N,R oder eben C) gerade so definiert, wie man es benötigt).
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:45 Di 24.08.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
das ist aber 'normales' Vorgehen. Ein weiteres Beispiel liegt zB in der Quantenmechanik, wo man sagt: Erwartungswerte sollen reell sein, das fuerht dann zu der Aussage, dass die dazugehoerigen Operatoren in der Quantenmechanik eine ganz bestimmte Form annehmen muessen (sie muessen hermitesch sein), und damit hat man die Menge aller Operatoren schonmal in zwei Klassen eingeteilt:
Welche, die als Observablen in Frage kommen (die, die dann hermitesch sind)
und eben die, die nicht als Observablen in Frage kommen.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Di 24.08.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Danke für eure Interesse. Das mit den Quarsvalen oder was das war das muss ich dann mal noch nachgoogeln, hab heut keine Zeit; ).
Also wenn wir gleich beim Thema sind:
Kann man jede Immaginäre und oder Negative Lösung, wenn sie nicht gerade angebracht ist, zu einer Sinnvollen Interpretation interpretieren?
Beispiel:
Wir haben in der Physik kurz negative Brechzahlen näher erläutert bekommen. Der Witz ist nun, das man schon Materialien mit solchen brechzahlen hergestellt haben soll. Sind also Real existent.
Dann komme ich zu meiner Komplexen Resonanzfrequenz, hat auch sie eine Physikalische Interpretation?!
Ich habe schon meinen "Komplexe Analysis" Dozenz gefragt, der hat mir nichts sagen können...war wohl eine zu schwierige Frage für ihn.
Gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 Di 24.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dass die Dgl "komplexe" Lösungen hat ist doch nur eine Rechenvereinbarung. Wenn du direkt in die Dgl den Ansatz [mm] y=(Asin(wt)+Bcos(wt))*e^{rt} [/mm] einsetzt statt mit [mm] e^{\lambda*t} [/mm] zu arbeiten gibt es keine "komplexen" Lösungen. einen 2d Vektorraum von fkt. kannst du eben auf 2 verschiedene Weisen von Basisvektoren beschreiben.
dass die Dgl y''=-y die Lösungen y=sinx und y=cosx hat und die beiden ne Basis sind lliegt an der Def. der fkt sin und cos. genauso dass [mm] e^{it} [/mm] ne Lösung ist. die hat aber keine direkte physikalische Bedeutung. man unterdrückt also die Lösung nicht, sondern der "Imaginärteil" passt zu keiner möglichen physikalischen Anfangsbedingung.
Wenn du y(0)=0 und y'(0)=1 forderst "unterdrückst" du auch nicht die lösung y=cosx der Dgl, sondern sie passt eben nicht zu den Anfangsbed. Aus den Anfangsbed. folgt einfach aus der allg. Lösung y=Asinx+Bcosx dass B=0 ist.
Dasselbe gilt für die komplexe Rechnung mit Wechselstromgrößen, sie sind nur viel bequemer, als immer mit sin und cos und Phasenverschiebungen zu rechnen. man kann einen Punkt im [mm] R^2 [/mm] mit seinen reellen Koordinaten (x,y)=(rcost,rsint) beschreiben, oder den [mm] R^2 [/mm] als komplexe C Ebene betrachten und einen punkt im [mm] R^2 [/mm] als eine komplexe Zahl [mm] z=r^*e^{it} [/mm] beschreiben, oft ist der Kalkül mit den komplexen Zahlen einfacher, deshalb verwendet man sie. das ist alles. Wenn für eine reelle Größe wie deine Resonanzrequenz ne komplexe Zahl rauskommt, heisst das einfach dass keine reelle lösung existiert.
Wenn bei der fkt [mm] f(x)=x^2+1 [/mm] die "Nullstellen [mm] x=\pm [/mm] i rauskommen heisst das einfach, es gibt keine rellen Nullstellen.
Ich denk, du hast nicht wirklich verstanden, dass man in Physik die komplexe Rechnung als äußerst effektives Hilfsmittel benutzt, du kannst (viel umständlicher) auch alles direkt reell rechnen.
nimm nur die einfache Dgl y''+ay'+by=0 setz mal den Ansatz [mm] y=e^{\lambda*t} [/mm] ein oder den Ansatz [mm] y=e^{rt}*sin(wt)
[/mm]
und [mm] y=e^{rt}*cos(wt) [/mm] in beiden Fällen kommt dasselbe r und t raus, im 2. vorgehen musst du halt länger rumwurschteln.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Di 24.08.2010 | | Autor: | qsxqsx |
> Ich denk, du hast nicht wirklich verstanden, dass man in
> Physik die komplexe Rechnung als äußerst effektives
> Hilfsmittel benutzt, du kannst (viel umständlicher) auch
> alles direkt reell rechnen.
Ich weiss das die Komplexe Rechnung ein Hilfsmittel ist, so wie Zahlen ein hilfsmittel sind. Das Zehnersystem ist auch ein gutes Hilfsmittel. Trotzdem sagt eine Zahl im Zehnersystem das gleiche aus wie eine andere Zahl in einem anderen System, wenn mans richtig interpretiert.
Erhält man nun eine komplexe Resonanzfrequenz, dann heisst es einfach es existiert nicht. Aber es ist eine Mathematische Lösung.... und bis jetzt beschreibt doch die Mathe so viel in der Natur, weshalb sollte das nicht einfach auch noch eine Bedeutung mehr als nur "es gibt keine Resonanzfrequenz" haben? Wäre es zumindest möglich, kann das jemand nachvollziehen?
Gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 Di 24.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein. Alle messbaren phsikalischen Größen sind reelle Zahlen (mit Einheiten)
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:23 Di 24.08.2010 | | Autor: | fred97 |
Deine homogene DGL habe reelle koeffizienten. Dann hat das zugeh. char. Polynom p reelle Koeff. und den Grad 2.
Die Lösungsgesamtheit H der homogenen Gl. ist dann ein 2-dim. reller oder komplexer Vektorraum (je nach dem, wie man es auffassen mag)
Ist nun [mm] \lambda_0 [/mm] eine nichtreelle Nullstelle von p, so ist auch [mm] \lambda_1:= \overline{\lambda_0} [/mm] eine Nullstelle von p
Setze [mm] y_0(t)= e^{\lambda_0t} [/mm] und [mm] y_1(t)= e^{\lambda_1t}
[/mm]
Fast man das ganze komplex auf, so ist [mm] y_0, y_1 [/mm] eine Basis von H
Fast man das ganze reell auf, so ist [mm] Re(y_0), Im(y_0) [/mm] eine Basis von H
FRED
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