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| Aufgabe | Zeigen Sie: Für genügend nahe bei 1 liegende $x,y,z$ kann man das Gleichungssystem
[mm] $-2x^2+2y^2+z^2=0$
[/mm]
[mm] $x^2+e^{y-1}-2y=0$
[/mm]
durch stetige Funktionen [mm] $y=\varphi(x)$ [/mm] und [mm] $z=\psi(x)$ [/mm] befriedigen. |
Hallo zusammen,
sofern ich die Aufgabenstellung richtig verstehe, geht es hier darum die Lösbarkeit des gegebenen Gleichungssystem mithilfe des Satzes von der impliziten Funktion zu zeigen. Ist das richtig?
Also muss ich ja zunächst einmal einen Punkt $P$ finden, der das Gleichungssystem löst. "Genügend nahe bei 1" würde $P(1,1,1)$ bedeuten, allerdings löst dieser Punkt das Gleichungssystem nicht.
Habe ich hier etwas falsch verstanden oder enthält das gegebene Gleichungssystem einen Fehler?
Wie finde ich die gesuchten stetigen Funktionen? Ich habe den Satz von der impliziten Funktion bisher nur für einfache Gleichungen (keine Systeme) angewendet.
Muss ich hier einfach nur die Jacobi-Matrix [mm] $D_{(y,z)}f$ [/mm] in $P$ ermitteln? Aber – wenn dem der Fall ist – warum liefert mir das die gesuchten stetigen Funktionen?
Viele Grüße
Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:52 Sa 29.06.2013 | | Autor: | abakus |
> Zeigen Sie: Für genügend nahe bei 1 liegende [mm]x,y,z[/mm] kann
> man das Gleichungssystem
>
> [mm]-2x^2+2y^2+z^2=0[/mm]
> [mm]x^2+e^{y-1}-2y=0[/mm]
>
> durch stetige Funktionen [mm]y=\varphi(x)[/mm] und [mm]z=\psi(x)[/mm]
> befriedigen.
> Hallo zusammen,
>
> sofern ich die Aufgabenstellung richtig verstehe, geht es
> hier darum die Lösbarkeit des gegebenen Gleichungssystem
> mithilfe des Satzes von der impliziten Funktion zu zeigen.
> Ist das richtig?
>
> Also muss ich ja zunächst einmal einen Punkt [mm]P[/mm] finden, der
> das Gleichungssystem löst. "Genügend nahe bei 1" würde
> [mm]P(1,1,1)[/mm] bedeuten, allerdings löst dieser Punkt das
> Gleichungssystem nicht.
> Habe ich hier etwas falsch verstanden oder enthält das
> gegebene Gleichungssystem einen Fehler?
>
> Wie finde ich die gesuchten stetigen Funktionen? Ich habe
> den Satz von der impliziten Funktion bisher nur für
> einfache Gleichungen (keine Systeme) angewendet.
> Muss ich hier einfach nur die Jacobi-Matrix [mm]D_{(y,z)}f[/mm] in [mm]P[/mm]
> ermitteln? Aber – wenn dem der Fall ist – warum liefert
> mir das die gesuchten stetigen Funktionen?
>
> Viele Grüße
> Patrick
Hallo Patrick,
x=1, y=1 und z=0 erfüllen das System.
Gruß Abakus
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Hallo Abakus,
> x=1, y=1 und z=0 erfüllen das System.
danke. Aber liegt $z=0$ "genügend nahe bei 1"?
Und ist meine Vermutung richtig, dass hier die Jacobi-Matrix [mm]D_{(y,z)}f[/mm] im Punkt [mm]P(1,1,0)[/mm] ermittelt werden und dann diese auf ihre Invertierbarkeit hin überprüft werden muss?
Dann tritt nämlich das Problem auf, dass die sich dadurch ergebende Matrix
[mm] $\pmat{ 4 & 0 \\ -1 & 0 }$
[/mm]
nicht invertierbar ist (Determinante ist null).
Das heißt dann aber auch, dass es die gesuchten Funktionen $y$ und $z$ gar nicht gibt (richtig?)
Und das wiederum bedeutet dann, dass die Lösung falsch ist – denn die Aufgabe sagt ja explizit, dass es $y$ und $z$ gibt
Was soll ich nun tun? Ist der Lösungsweg falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 Sa 29.06.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo Abakus,
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> > x=1, y=1 und z=0 erfüllen das System.
>
> danke. Aber liegt [mm]z=0[/mm] "genügend nahe bei 1"?
>
> Und ist meine Vermutung richtig, dass hier die
> Jacobi-Matrix [mm]D_{(y,z)}f[/mm] im Punkt [mm]P(1,1,0)[/mm] ermittelt werden
> und dann diese auf ihre Invertierbarkeit hin überprüft
> werden muss?
>
> Dann tritt nämlich das Problem auf, dass die sich dadurch
> ergebende Matrix
>
> [mm]\pmat{ 4 & 0 \\ -1 & 0 }[/mm]
>
> nicht invertierbar ist (Determinante ist null).
Hallo Apfelchips,
ich schicke voraus, dass ich von dem, was du hier machst, überhaupt keine Ahnung habe. Ich habe bisher nur auf deinen Ansatz ("es müsste (1|1|1) sein") reagiert.
Es scheint nun irgendwie um zwei stetige "befriedigende" Funktionen zu gehen.
Nur mal so eine Idee:
[mm] x^2+e^{y-1}-2y=0 [/mm] lässt sich umstellen zu
[mm]x=\pm\sqrt{...}[/mm].
Das ergibt (als eine Möglichkeit) eine (stetige?) Funktion [mm]x(y)=+\sqrt{...}.
[/mm]
Sollte diese Funktion (zumindest in einer näheren Umgebung von y=1) streng monoton sein, dann kann man eventuell von x(y) eine (stetige) Umkehrfunktion bilden. Und selbst, wenn man sie nicht so einfach elementar aufstellen kann: SIE EXISTIERT.
Damit gäbe es schon mal eine gesuchte Funktion [mm] $y=\varphi(x) [/mm] $.
Hilft das?
Gruß Abakus
>
> Das heißt dann aber auch, dass es die gesuchten Funktionen
> [mm]y[/mm] und [mm]z[/mm] gar nicht gibt (richtig?)
>
> Und das wiederum bedeutet dann, dass die Lösung falsch ist
> – denn die Aufgabe sagt ja explizit, dass es [mm]y[/mm] und [mm]z[/mm]
> gibt
>
> Was soll ich nun tun? Ist der Lösungsweg falsch?
>
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> Nur mal so eine Idee:
> [mm]x^2+e^{y-1}-2y=0 [/mm] lässt sich umstellen zu
> [mm]x=\pm\sqrt{...}[/mm].
>
> Das ergibt (als eine Möglichkeit) eine (stetige?)
> Funktion [mm]x(y)=+\sqrt{...}.[/mm]
> Sollte diese Funktion (zumindest in einer näheren
> Umgebung von y=1) streng monoton sein, dann kann man
> eventuell von x(y) eine (stetige) Umkehrfunktion bilden.
> Und selbst, wenn man sie nicht so einfach elementar
> aufstellen kann: SIE EXISTIERT.
> Damit gäbe es schon mal eine gesuchte Funktion
> [mm]y=\varphi(x) [/mm].
> Hilft das?
Das ist eine gute Idee (danke!), aber das muss doch auch mit dem Satz von der impliziten Funktion lösbar sein, oder?
Hat dazu niemand eine Idee? So falsch kann mein Ansatz aus dem vorangegangen Beitrag doch nicht sein … schreit diese Aufgabe nicht förmlich nach dem Satz von der impliziten Funktion?
"Notfalls" werde ich dann auf Deinen, Abakus', Vorschlag zurückgreifen.
Viele Grüße
Patrick
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Hallo Apfelchips,
Du sollst prüfen ob du y,z implizit ausdrücken kannst. Den Hauptsatz anzuwenden wäre sicher einen Versuch wert. Hast du geprüft ob die Bedingungen dafür erfüllt sind?
Zeige dass es eine Eindeutig bestimmte Auflösung in der Nähe des Punktes (1,1,1) gibt.
Lg Thomas
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Hallo Thomas,
> Du sollst prüfen ob du y,z implizit ausdrücken kannst.
> Den Hauptsatz anzuwenden wäre sicher einen Versuch wert.
> Hast du geprüft ob die Bedingungen dafür erfüllt sind?
Ja, das habe ich. Die Bedingungen sind nicht erfüllt: Es gibt keinen Punkt $P$, der das Gleichungssystem löst und an dem es eine invertierbare Jacobi-Matrix [mm] $D_{yz}$ [/mm] gibt. (Zumindest finde ich keinen solchen Punkt in der Nähe von 1.) Natürlich kann das nicht sein: Die Bedingungen müssen erfüllt sein, denn das stellt die Aufgabe ja gar nicht in Frage. Merkwürdig, oder?
> Zeige dass es eine Eindeutig bestimmte Auflösung in der
> Nähe des Punktes (1,1,1) gibt.
Das ist, denke ich, immer noch mein Hauptproblem: Welcher Punkt ist hier genau gemeint? Er muss ja das Gleichungssystem lösen. (1,1,1) tut das nicht.
Viele Grüße
Patrick
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Hallo Patrick,
Ja tut mir leid da habe ich mich verschrieben. (1,1,0) wäre eine Lösung dieses Systems.
Lass uns das ganze doch mal so formulieren:
Hat die Gleichung:
[mm] -2x^2+2y^2+z^2+x^2+e^{y-1}-2y=0[/mm] in der Umgebung des Punktes (x,y,z) = (1,1,0) eine Auflösungsfunktion (y,z) = f(x).
Sei [mm]g(x,y,z) = -2x^2+2y^2+z^2+x^2+e^{y-1}-2y=0[/mm]
es gilt offensichtlich: g(1,1,0) = 0.
Für die Existens einer solchen Auflösungsfunktion ist also hinreichend:
[mm]det(\frac{dg}{d(y,z)}(1,1,0))\neq 0[/mm]
Prüfe dies!
Lg Thomas
Ps: Noch schöner wäre du definierst g so:
g: [mm] \IR^{3} \to \IR^{2} [/mm] : g(x,y,z) [mm] =\begin{pmatrix} -2x^2+2y^2+z^2 \\ x^2+e^{y-1}-2y \end{pmatrix}
[/mm]
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Hallo Thomas,
danke für Deine Ausführungen.
Inzwischen weiß ich, dass in der Aufgabenstellung ein Fehler steckt: Die erste Gleichung des Systems lautet [mm] $-2x^2+y^2+z^2=0$ [/mm] und somit ist $P(1,1,1)$ auch tatsächlich eine Lösung des Gleichungssystems.
Damit kann das "Kochrezept" auch angewendet werden:
Es gibt einen Punkt, der das Gleichungssystem löst und die Ableitung [mm] $D_{(y,z)}$ [/mm] in diesem Punkt existiert (denn die Determinante [mm] $det(\pmat{ 4 & 2 \\ -1 & 0 })$ [/mm] ist ungleich null), also existieren die gesuchten stetigen Funktionen $y$ und $z$.
Und mehr ist hier ja auch gar nicht zu zeigen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 Mo 01.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Thomas,
>
> danke für Deine Ausführungen.
>
> Inzwischen weiß ich, dass in der Aufgabenstellung ein
> Fehler steckt: Die erste Gleichung des Systems lautet
> [mm]-2x^2+y^2+z^2=0[/mm] und somit ist [mm]P(1,1,1)[/mm] auch tatsächlich
> eine Lösung des Gleichungssystems.
>
> Damit kann das "Kochrezept" auch angewendet werden:
> Es gibt einen Punkt, der das Gleichungssystem löst und
> die Ableitung [mm]D_{(y,z)}[/mm] in diesem Punkt existiert (denn die
> Determinante [mm]det(\pmat{ 4 & 2 \\ -1 & 0 })[/mm] ist ungleich
> null), also existieren die gesuchten stetigen Funktionen [mm]y[/mm]
> und [mm]z[/mm].
>
> Und mehr ist hier ja auch gar nicht zu zeigen.
So ist es
FRED
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> Hallo Abakus,
>
> > x=1, y=1 und z=0 erfüllen das System.
>
> danke. Aber liegt [mm]z=0[/mm] "genügend nahe bei 1"?
>
> Und ist meine Vermutung richtig, dass hier die
> Jacobi-Matrix [mm]D_{(y,z)}f[/mm] im Punkt [mm]P(1,1,0)[/mm] ermittelt werden
> und dann diese auf ihre Invertierbarkeit hin überprüft
> werden muss?
>
> Dann tritt nämlich das Problem auf, dass die sich dadurch
> ergebende Matrix
>
> [mm]\pmat{ 4 & 0 \\ -1 & 0 }[/mm]
>
> nicht invertierbar ist (Determinante ist null).
Poste doch mal die Matrix die du betrachtet hast.
Wobei meine Antwort auf deine letzte Frage sollte dies klären
>
> Das heißt dann aber auch, dass es die gesuchten Funktionen
> [mm]y[/mm] und [mm]z[/mm] gar nicht gibt (richtig?)
Allg: Ja wenn der Hauptsatz über implizite Fkt. nicht anwendbar ist folgt daraus natürlich dass es in der Umgebung eines Punktes eine solche implizit def. Fkt. nicht gibt.
>
> Und das wiederum bedeutet dann, dass die Lösung falsch ist
> – denn die Aufgabe sagt ja explizit, dass es [mm]y[/mm] und [mm]z[/mm]
> gibt
>
> Was soll ich nun tun? Ist der Lösungsweg falsch?
>
Siehe meine Antwort auf deine letzte Frage.
Gruß
Thomas
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