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Implikation richtig?: Lp raum
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:10 Fr 23.11.2012
Autor: mikexx

Aufgabe
Stimmt folgende Implikation?

[mm] $f\in L_2(\mathbb{R})\Rightarrow f\in L_1(\mathbb{R})$? [/mm]

Ich müsste das eigentlich wissen, habe aber gerade einen totalen Blackout.

        
Bezug
Implikation richtig?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:14 Fr 23.11.2012
Autor: reverend

Hallo mikexx,

> Stimmt folgende Implikation?
>  
> [mm]f\in L_2(\mathbb{R})\Rightarrow f\in L_1(\mathbb{R})[/mm]?
>  Ich
> müsste das eigentlich wissen, habe aber gerade einen
> totalen Blackout.

Hm. Ich sehe gerade keine Falle. Eine Funktion, die zweimal integriert werden kann, kann doch immer auch nur einmal integriert werden...

Grüße
reverend


Bezug
                
Bezug
Implikation richtig?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:17 Fr 23.11.2012
Autor: mikexx

Die Frage ist doch nicht, wie oft man integrieren kann, sondern ob

das Integral über [mm] $\lvert f(x)\rvert$ [/mm] endlich ist, wenn das Integral über [mm] $\lvert f(x)\rvert^2$ [/mm] endlich ist.

Bezug
                        
Bezug
Implikation richtig?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:54 Fr 23.11.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Die Frage ist doch nicht, wie oft man integrieren kann,
> sondern ob
>  
> das Integral über [mm]\lvert f(x)\rvert[/mm] endlich ist, wenn das
> Integral über [mm]\lvert f(x)\rvert^2[/mm] endlich ist.

genau das ist die Frage (keine Ahnung, was reverend da meinte).

Aber solche Antworten findest Du doch etwa []hier (klick!):
Setze $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] fest durch [mm] $f(x):=I_{[1,\infty)}(x)*1/x\,,$ [/mm] wobei
[mm] $I_{[1,\infty)}(x)$ [/mm] die Indikatorfunktion auf [mm] $[1,\infty)$ [/mm] ist.

Dann ist $f [mm] \in L_2\,,$ [/mm] denn es ist [mm] $\int_\IR |f(x)|^2dx=\Big[-1/x\Big]_{x=1}^{x=\infty}=-(-1/1^2)=1\,,$ [/mm]
aber es ist $f [mm] \notin L_1\,,$ [/mm] denn...?

Gruß,
  Marcel

Bezug
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