Implikation zeigen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Mo 30.04.2012 | | Autor: | Naienna |
| Aufgabe | Seien A und B Mengen.Man zeige die folgende Implikation:
A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \cap [/mm] B = A |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hey,
ich habe die Aufgabe bearbeitet und ich habe auch eine Lösung, allerdings bin ich mir nicht sicher, ob ich das so schreiben kann, oder ob mir Zwischenschritte fehlen bzw. ich falsche Schlüsse ziehe. Wäre schön wenn jemand nochmal drüber gucken könnte und mir wenn nötig einen kleinen Denkanstoß in die richtige Richtung geben könnte. Ich setze in meinem Beweis die erste Aussage als wahr vorraus und folgere daraus etwas Wahres. Danke im Vorraus!
Behauptung: Seien A und B Mengen und es gelte A [mm] \subseteq [/mm] B
Beweis: Es gilt [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A: x [mm] \in [/mm] B. (Nach Definition der Inklusion). Daraus folgt das für x gilt: x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B, so dass gilt A [mm] \cap [/mm] B und da dies für alle x [mm] \in [/mm] A gilt, gilt A [mm] \cap [/mm] B = A
[mm] \Box
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 Mo 30.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien A und B Mengen.Man zeige die folgende Implikation:
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> A [mm]\subseteq[/mm] B [mm]\Rightarrow[/mm] A [mm]\cap[/mm] B = A
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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> Hey,
>
> ich habe die Aufgabe bearbeitet und ich habe auch eine
> Lösung, allerdings bin ich mir nicht sicher, ob ich das so
> schreiben kann, oder ob mir Zwischenschritte fehlen bzw.
> ich falsche Schlüsse ziehe. Wäre schön wenn jemand
> nochmal drüber gucken könnte und mir wenn nötig einen
> kleinen Denkanstoß in die richtige Richtung geben könnte.
> Ich setze in meinem Beweis die erste Aussage als wahr
> vorraus und folgere daraus etwas Wahres. Danke im Vorraus!
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> Behauptung: Seien A und B Mengen und es gelte A [mm]\subseteq[/mm]
> B
> Beweis: Es gilt [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] A: x [mm]\in[/mm] B. (Nach Definition
> der Inklusion). Daraus folgt das für x gilt: x [mm]\in[/mm] A
> [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] B, so dass gilt A [mm]\cap[/mm] B
da steht keine Aussage mehr. Was soll das heißen: Es gilt $A [mm] \cap [/mm] B$? Ich meine, genauso gut kann ich sagen, es gilt $A [mm] \subseteq$
[/mm]
Das ist genauso wenig aussagekräftig.
> und da dies für alle
> x [mm]\in[/mm] A gilt, gilt A [mm]\cap[/mm] B = A
>
> [mm]\Box[/mm]
Das ist kein Beweis (da sind sicherlich richtige Ideen mitenthalten, aber fehler- und lückenhaft aufgeschrieben). Das liegt aber vor allem daran, dass Dir (momentan noch) nicht klar ist, was im einzelnen zu zeigen ist - oder Du weißt es, erwähnst es aber nicht. Gerade zu Studienbeginn solltest Du aber lieber jede Kleinigkeit erwähnen - später darfst Du da ein wenig lockerer mit umgehen, solltest aber auf jede Nachfrage entsprechende reagieren können - d.h. auf Deinem Stichwortzettel steht vielleicht mehr als zum Beispiel Deinem Tafelanschrieb im Seminar, wo Du wirklich nur die wesentlichen oder schwierigeren Beweisteile ein wenig mehr auseinandernimmst.
Dir ist klar, dass Du aus der Voraussetzung $A [mm] \subseteq [/mm] B$ nun folgern sollst, dass dann auch $A [mm] \cap [/mm] B=A$ gilt.
Was Dir auch klar ist, ist, dass Du benutzen darfst "Es gelte $A [mm] \subseteq [/mm] B$" bzw. anders gesagt: "Für alle $x [mm] \in [/mm] A$ gilt auch $x [mm] \in B\,.$"
[/mm]
Nun hast Du (unter der obigen Gegebenheit $A [mm] \subseteq [/mm] B$) eine Mengengleichheit zu zeigen, und für Mengen [mm] $X,Y\,$ [/mm] zeigt man halt [mm] $X=Y\,,$ [/mm] indem man zeigt:
Es gilt sowohl
1.) $X [mm] \subseteq [/mm] Y$
als auch
2.) $Y [mm] \subseteq X\,.$
[/mm]
Bei Dir ist $X:=A [mm] \cap [/mm] B$ und [mm] $Y:=A\,.$
[/mm]
Also zur Aufgabe:
Nach Voraussetzung gilt $A [mm] \subseteq B\,,$ [/mm] also $x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] B$ gilt für alle $x [mm] \in A\,.$
[/mm]
1.) Wir zeigen $(A [mm] \cap B)\subseteq [/mm] A:$
Da jedes $x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)$ per Definitionem erfüllt: $x [mm] \in [/mm] A [mm] \text{ und }x \in B\,,$ [/mm] erfüllt jedes $x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)$ insbesondere $x [mm] \in A\,,$ [/mm] sodass $(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] A$ trivialerweise (immer) gilt (hier wird ja nirgends die Voraussetzung $A [mm] \subseteq [/mm] B$ benötigt).
Noch zu zeigen bleibt
2.) Es gilt $A [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cap B)\,:$
[/mm]
...
Und das darfst Du nun machen: Beachte aber, dass man, um 2.) einzusehen, in der Tat die Voraussetzung $A [mm] \subseteq [/mm] B$ benötigt!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Mo 30.04.2012 | | Autor: | Naienna |
Okay, das mit der Mengengleichheit verstehe ich schonmal ( deine erster Gedanke war richtig, dass ich erstmal Gleichheit beweisen muss, war mir noch nicht klar. Sobald ich das bewiesen habe, muss ich dann noch mehr beweisen oder ist der Beweis damit erbracht?).Danke dir für deine Zeit :) Jetzt ist nurnoch die Frage ob ich den 2. Teil richtig mache. Kurzer Lösungsvorschlag:
2.) Es gilt A [mm] \subseteq [/mm] ( A [mm] \cap [/mm] B):
Sei x [mm] \in [/mm] A. Dann gilt nach Vorraussetzung (A [mm] \subseteq [/mm] B), dass auch x [mm] \in [/mm] B. Da x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B die Definition von A [mm] \cap [/mm] B ist, gilt A [mm] \subseteq [/mm] ( A [mm] \cap [/mm] b ).
So okay?
Lg Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:07 Di 01.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Naienna,
> Okay, das mit der Mengengleichheit verstehe ich schonmal (
> deine erster Gedanke war richtig, dass ich erstmal
> Gleichheit beweisen muss, war mir noch nicht klar. Sobald
> ich das bewiesen habe, muss ich dann noch mehr beweisen
> oder ist der Beweis damit erbracht?).
Dann ist der Beweis erbracht.
> 2.) Es gilt A [mm]\subseteq[/mm] ( A [mm]\cap[/mm] B):
> Sei x [mm]\in[/mm] A. Dann gilt nach Vorraussetzung (A [mm]\subseteq[/mm]
> B), dass auch x [mm]\in[/mm] B.
Sehr schön!
> Da x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] B die
> Definition von [mm] $\red{x\in}$ [/mm] A [mm]\cap[/mm] B ist, gilt
[mm] $x\in A\cap [/mm] B$. Damit ist
> A [mm]\subseteq[/mm] ( A [mm]\cap[/mm] b ).
gezeigt.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:28 Di 01.05.2012 | | Autor: | Naienna |
Supergut, vielen Dank euch Beiden! :) Habt einen schönen ersten Mai!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:53 Di 01.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Definition von A [mm]\cap[/mm] B ist, gilt A [mm]\subseteq[/mm] ( A [mm]\cap[/mm] b
> ).
>
> So okay?
wenn Du aus dem [mm] $b\,$ [/mm] am Ende ein [mm] $B\,$ [/mm] machst (was sicher aber nur ein Vertipper war) - dann ja^^
Gruß,
Marcel
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