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Implizite Differentiation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:39 Mi 24.06.2009
Autor: takeiteasy

Aufgabe
Die Gleichung       [mm] z^{3}+z+xy-1=0 [/mm]
hat für jedes Paar [mm] (x,y)\in\IR^{2} [/mm] genau eine reelle Lösung z=g(x,y).
Begründen Sie diesen Sachverhalt und zeigen Sie:
[mm] g:\IR^{2}\to\IR [/mm] ist differenzierbar und berechnen Sie die Ableitung von g am Punkt (1,1).

Hallo,

Ich weiß einfach nicht wie g jetzt aussehen soll.

Wäre schön, wenn mir da einer weiter helfen könnte.

Danke

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Implizite Differentiation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:17 Mi 24.06.2009
Autor: Al-Chwarizmi


>  Die Gleichung       [mm]z^{3}+z+xy-1=0[/mm]
>  hat für jedes Paar [mm](x,y)\in\IR^{2}[/mm] genau eine reelle
>  Lösung z=g(x,y).

>  (1.)  Begründen Sie diesen Sachverhalt

>  (2.)  Zeigen Sie:  [mm]g:\IR^{2}\to\IR[/mm] ist differenzierbar

>  (3.)  Berechnen Sie die Ableitung von g am Punkt (1,1).

> Ich weiß einfach nicht wie g jetzt aussehen soll.


Hallo taky-teasy ;-)

es wird hier nicht verlangt, dass du für g(x,y) eine
explizite Formel aufstellst - dies wäre zwar auch
möglich, aber etwas umständlich.
Du musst für (1.) nur zeigen, dass für ein gegebenes
Zahlenpaar [mm] (x,y)\in\IR^2 [/mm] der Wert z eindeutig
feststeht.

Seien also [mm] x,y\in\IR. [/mm] Betrachte nun die Funktion

      [mm] f(z):=z^3+z+c [/mm]     wobei  $\ c:=x*y-1$

Nun ist wichtig, dass du dir, am besten durch
Betrachtung der Ableitungsfunktion $\ f'(z)$ klar
machst, welche generellen Eigenschaften diese
Funktion hat.


LG   Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
Implizite Differentiation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:31 Mi 24.06.2009
Autor: takeiteasy

Hallo Al-Chwarizmi,

aber weiter soll ich doch zeigen, dass g diffbar ist. Kann ich dann einfach von der Gleichung [mm] z^3+z+xy-1=0 [/mm] die partiellen Ableitungen nach x und y bilden, zeigen dass diese stetig sind und damit dann, dass g diffbar ist?

Liebe Grüße

Bezug
                        
Bezug
Implizite Differentiation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:42 Mi 24.06.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo Al-Chwarizmi,
>  
> aber weiter soll ich doch zeigen, dass g diffbar ist. Kann
> ich dann einfach von der Gleichung [mm]z^3+z+xy-1=0[/mm] die
> partiellen Ableitungen nach x und y bilden, zeigen dass
> diese stetig sind und damit dann, dass g diffbar ist?
>  
> Liebe Grüße


Hallo takeiteasy,

im Prinzip ja. Beachte aber dabei, dass nun z als Funktion
von y betrachtet werden muss und dass du zum Ableiten
auch die Kettenregel brauchst. Zeigen muss man, dass
[mm] \bruch{\partial{z}}{\partial{x}} [/mm] und [mm] \bruch{\partial{z}}{\partial{y}} [/mm]  stetige Funktionen von (x,y) sind.

LG   Al-Chw.


Bezug
                                
Bezug
Implizite Differentiation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:03 Mi 24.06.2009
Autor: takeiteasy

Ich bin mir nicht sicher, ob ich dich richtig verstanden habe.
Wenn ich also die Kettenregel anwende, dann gilt

F(x,y,g(x,y))=0
[mm] F_{x}+F_{y}*g'=0 [/mm]
wobei [mm] F_{x} [/mm] und [mm] F_{y} [/mm] die partiellen Abl sind.

Dann ist [mm] g'=-x\y [/mm]

Hattest du das so gemeint?

Bezug
                                        
Bezug
Implizite Differentiation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:05 Mi 24.06.2009
Autor: takeiteasy

Ich meine [mm] g'=-\bruch{x}{y} [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Implizite Differentiation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:20 Mi 24.06.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Ich bin mir nicht sicher, ob ich dich richtig verstanden
> habe.
>  Wenn ich also die Kettenregel anwende, dann gilt
>  
> F(x,y,g(x,y))=0
>  [mm]F_{x}+F_{y}*g'=0[/mm]        [verwirrt]
>  wobei [mm]F_{x}[/mm] und [mm]F_{y}[/mm] die partiellen Abl sind.
>  
> Dann ist [mm]g'=-x\y[/mm]
>  
> Hattest du das so gemeint?    [kopfschuettel]



Die Gleichung, durch welche z implizit definiert ist,
lautet:
            [mm] z^3+z+x*y-1=0 [/mm]

Die muss nun partiell nach x und nach y abgeleitet
werden. Ich schreibe die partiellen Ableitungen jetzt
als [mm] z_x [/mm] und [mm] z_y [/mm]  (statt mit der  [mm] \partial [/mm] - Schreibweise)

Ableiten nach x ergibt die Gleichung:

           [mm] 3*z^2*z_x+z_x+y=0 [/mm]

Diese Gleichung kann man nun nach der gesuchten
partiellen Ableitung [mm] z_x [/mm] auflösen:

           [mm] $\bruch{\partial{z}}{\partial{x}}\ [/mm] =\ [mm] z_x\ [/mm] =\ [mm] \bruch{-\,y}{.......}$ [/mm]

Analog geht es für [mm] z_y [/mm] .


LG





Bezug
                                                
Bezug
Implizite Differentiation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:49 Mi 24.06.2009
Autor: takeiteasy

Oh, ich verstehe.
Dann ist [mm] z_{x}=\bruch{-y}{3z^{2}+1}. [/mm]
Ich zeige dann, dass [mm] z_{x} [/mm] stetig ist. Das gleiche für [mm] z_{y} [/mm] und dann ist g diffbar.

Und für die Ableitung von g an (1,1) setze ich den Punkt dann einfach ein.

Richtig so?

Bezug
                                                        
Bezug
Implizite Differentiation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:05 Mi 24.06.2009
Autor: MathePower

Hallo takeiteasy,

> Oh, ich verstehe.
>  Dann ist [mm]z_{x}=\bruch{-y}{3z^{2}+1}.[/mm]
>  Ich zeige dann, dass [mm]z_{x}[/mm] stetig ist. Das gleiche für
> [mm]z_{y}[/mm] und dann ist g diffbar.


Nun, wenn die partiellen Ableitungen  [mm]z_{x}, z_{y}[/mm] stetig sind,
dann ist z bzw. g sogar partiell stetig differenzierbar.


>
> Und für die Ableitung von g an (1,1) setze ich den Punkt
> dann einfach ein.
>  
> Richtig so?


Ja.


Gruß
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
Implizite Differentiation: Stetigkeit von z(x,y) ?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:21 Mi 24.06.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo takeiteasy,
>  
> >  Oh, ich verstehe.

> >  Dann ist [mm]z_{x}=\bruch{-y}{3z^{2}+1}.[/mm]     [ok]

> >  Ich zeige dann, dass [mm]z_{x}[/mm] stetig ist. Das gleiche für

> >  [mm]z_{y}[/mm] und dann ist g diffbar.

>
>
>  Nun, wenn die partiellen Ableitungen  [mm]z_{x}, z_{y}[/mm] stetig sind,
>  dann ist z bzw. g sogar partiell stetig differenzierbar.


Hallo,

hier gibt es aber nun noch ein kleines logisches
Problem:

Wie zeigt man, dass z.B. die partielle Ableitung  
[mm] z_x(x,y) [/mm] stetig ist, wenn sie durch die Formel

     [mm] z_{x}=\bruch{-y}{3z^{2}+1} [/mm]

gegeben ist, auf deren rechter Seite z vorkommt ?
Für den Nachweis der Stetigkeit der Funktion z(x,y)
dürfen wir uns natürlich nicht auf deren Differen-
zierbarkeit stützen, die ja eben erst bewiesen werden
soll !
Es ist also ein unabhängiger Beweis der Stetigkeit
von z(x,y) notwendig ...   Die notwendige Vorarbeit
dazu steht allerdings schon zur Verfügung  ;-)

LG    Al-Chw.





      

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