Implizite Funk. Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:08 Mi 25.05.2011 | | Autor: | engels |
| Aufgabe | Gegeben sei:
[mm] F(x,y,z)=x^{2}yz^{4}+xz^{2}+y^{3}z-3
[/mm]
Sei g(x,y)=z mit F(x,y,g(x,y))=0. Berechne das erste Taylorpolynom von g(x,y) und damit eine Approximation für den Funktionswert von g(0.9,1.1). |
Ich hätte das Taylorpolynom in dem Fall erstmal definiert als:
T(x,y)= dg/dx(0.9,1.1)*x + dg/dy(0.9,1.1)*y
Mein Problem hierbei ist, dass ich dg/dx bzw. dg/dy nicht bestimmten kann. Kann mit dabei jemand helfen?
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> Gegeben sei:
> [mm]F(x,y,z)=x^{2}yz^{4}+xz^{2}+y^{3}z-3[/mm]
>
> Sei g(x,y)=z mit F(x,y,g(x,y))=0. Berechne das erste
> Taylorpolynom von g(x,y) und damit eine Approximation für
> den Funktionswert von g(0.9,1.1).
> Ich hätte das Taylorpolynom in dem Fall erstmal definiert
> als:
>
> T(x,y)= dg/dx(0.9,1.1)*x + dg/dy(0.9,1.1)*y
>
> Mein Problem hierbei ist, dass ich dg/dx bzw. dg/dy nicht
> bestimmten kann. Kann mit dabei jemand helfen?
Bilde die partiellen Ableitungen der Funktion nach x
und nach y.
Beispiel: die Ableitung der Gleichung
[mm] x^{2}*y*z^{4}+x*z^{2}+y^{3}z-3=0
[/mm]
nach x ist:
$\ [mm] (2*x)*y*z^4+x^2*y*(4\,z^3*\frac{\partial z}{\partial x})+z^2+x*(2*z*\frac{\partial z}{\partial x})+y^3*\frac{\partial z}{\partial x}=0$
[/mm]
(immer dran denken, dass z auch Funktion von x ist, und
die Produkt- und Kettenregel richtig anwenden !)
Nun kann man diese Gleichung nach [mm] \frac{\partial z}{\partial x} [/mm] auflösen
und die Koordinaten (x,y,z) des vorgegebenen Punktes
einsetzen.
Analog dann für die Ableitung [mm] \frac{\partial z}{\partial y} [/mm] .
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Do 26.05.2011 | | Autor: | engels |
Das klingt ja schon ganz logisch, nur wenn ich nach [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] umforme, erhalte ich wieder einen Term der abhängig von z ist. Im Taylorpolynom soll ja allerdings kein z vorkommen, da ich dort ja nur x und y einsetze.
Wie bekomm ich denn jetzt das z weg?
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> Das klingt ja schon ganz logisch, nur wenn ich nach
> [mm]\bruch{dz}{dx}[/mm] umforme, erhalte ich wieder einen Term der
> abhängig von z ist. Im Taylorpolynom soll ja allerdings
> kein z vorkommen, da ich dort ja nur x und y einsetze.
>
> Wie bekomm ich denn jetzt das z weg?
Die Ableitungen [mm] \frac{\partial z}{\partial x} [/mm] und [mm] \frac{\partial z}{\partial y} [/mm] brauchst du ja nur im
Entwicklungspunkt, den du noch wählen kannst.
Es empfiehlt sich dazu der Punkt (1|1|1), in dem
die Flächengleichung offensichtlich erfüllt ist
und der recht nahe an der gewünschten Stelle liegt.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Fr 27.05.2011 | | Autor: | engels |
Oke, das habe ich gemacht, nur wunder ich mich etwas über das Ergebnis:
[mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = - [mm] \bruch{3}{7}
[/mm]
[mm] \bruch{dz}{dy} [/mm] = - [mm] \bruch{4}{7}
[/mm]
Wenn ich die Werte so in meiner Taylorentwicklung einsetze komme ich auf:
[mm] -\bruch{3}{7}*0,9+ [/mm] - [mm] \bruch{4}{7}*1,1 [/mm] = -1,041...
Das "-" wundert mich etwas, da der Wert doch eigentlich gegen 1 gehen müsste, oder?
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> Oke, das habe ich gemacht, nur wunder ich mich etwas über
> das Ergebnis:
>
> [mm]\bruch{dz}{dx}[/mm] = - [mm]\bruch{3}{7}[/mm]
> [mm]\bruch{dz}{dy}[/mm] = - [mm]\bruch{4}{7}[/mm]
Die Ableitungswerte stimmen.
> Wenn ich die Werte so in meiner Taylorentwicklung einsetze
> komme ich auf:
>
> [mm]-\bruch{3}{7}*0,9+[/mm] - [mm]\bruch{4}{7}*1,1[/mm] = -1,041... ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Du musst beachten, dass wir es hier mit einer Taylorent-
wicklung beim Stützpunkt (1|1|1) zu tun haben !
> Das "-" wundert mich etwas, da der Wert doch eigentlich
> gegen 1 gehen müsste, oder?
Ja, der richtige Wert für die Approximation von g(0.9,1.1)
liegt recht nahe bei +1 .
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Fr 27.05.2011 | | Autor: | engels |
Oke, ich hab nochmal nachgeschlagen und hoffe, dass ich es jetzt richtig verstanden habe. Also ich entwickle g(x,y) im Punkt (1,1). Daher hat die Taylorentwicklung im meinem Fall die Form:
T(x,y) = g(1,1) + dz/dx(1,1,1)*(x-1) +dz/dy(1,1,1)*(y-1)
==> T(0.9,1.1) = 1 + [mm] -\bruch{3}{7}\cdot{}(0,9-1)+ -\bruch{4}{7}\cdot{}(1.1-1) \approx [/mm] 0.9857...
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Hallo engels,
> Oke, ich hab nochmal nachgeschlagen und hoffe, dass ich es
> jetzt richtig verstanden habe. Also ich entwickle g(x,y) im
> Punkt (1,1). Daher hat die Taylorentwicklung im meinem Fall
> die Form:
>
> T(x,y) = g(1,1) + dz/dx(1,1,1)*(x-1) +dz/dy(1,1,1)*(y-1)
>
> ==> T(0.9,1.1) = 1 + [mm]-\bruch{3}{7}\cdot{}(0,9-1)+ -\bruch{4}{7}\cdot{}(1.1-1) \approx[/mm]
> 0.9857...
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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