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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Implizite Funktion 2
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Implizite Funktion 2: Implizite Funktion
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:54 Fr 25.07.2014
Autor: YuSul

Aufgabe
Sei [mm] f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} [/mm]

gegeben durch

[mm] $f(x,y_1,y_2):=x^2y_1+e^x+y_2$ [/mm]

a) Zeigen Sie, dass es eine offene Menge [mm] $U\subset \mathbb{R}^2, (-1,1)\in [/mm] U$ und eine differenzierbare Funktion $g: [mm] U\to\mathbb{R}$ [/mm] gibt mit

[mm] $f(g(y_1,y_2),y_1,y_2)=0$ [/mm]

für alle [mm] $(y_1, y_2)\in [/mm] U$

Hi,

ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
Nämlich ist mir die Vorgehensweise nicht ganz klar. Ich muss ja den Satz über implizite Funktionen anwenden. Jedenfalls denke ich das.

Nun möchte ich die Funktion nach x differenzieren um zu zeigen, dass dies ungleich Null ist, in der Umgebung, damit ich den Satz über implizite Funktionen anwenden kann:

[mm] $f(x,y_1,y_2)=x^2y_1+e^x+y_2$ [/mm]

[mm] $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y_1,y_2)=2xy_1+e^x$ [/mm]

[mm] $\frac{\partial f}{\partial x}(x,-1,1)=-2x+e^x\neq [/mm] 0$

Wovon man sich leicht überzeugen kann.
Also kann ich den Satz über implizite Funktionen anwenden.
Daher existiert eine differenzierbare Funktion

[mm] $g:(-1,1)\to\mathbb{R}$ [/mm] mit [mm] $f(g(y_1,y_2), y_1,y_2)=0$ [/mm]

Passt das soweit?

        
Bezug
Implizite Funktion 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:25 Fr 25.07.2014
Autor: MathePower

Hallo YuSul,

> Sei [mm]f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}[/mm]
>  
> gegeben durch
>
> [mm]f(x,y_1,y_2):=x^2y_1+e^x+y_2[/mm]
>  
> a) Zeigen Sie, dass es eine offene Menge [mm]U\subset \mathbb{R}^2, (-1,1)\in U[/mm]
> und eine differenzierbare Funktion [mm]g: U\to\mathbb{R}[/mm] gibt
> mit
>
> [mm]f(g(y_1,y_2),y_1,y_2)=0[/mm]
>  
> für alle [mm](y_1, y_2)\in U[/mm]
>  Hi,
>  
> ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
>  Nämlich ist mir die Vorgehensweise nicht ganz klar. Ich
> muss ja den Satz über implizite Funktionen anwenden.
> Jedenfalls denke ich das.
>  
> Nun möchte ich die Funktion nach x differenzieren um zu
> zeigen, dass dies ungleich Null ist, in der Umgebung, damit
> ich den Satz über implizite Funktionen anwenden kann:
>  
> [mm]f(x,y_1,y_2)=x^2y_1+e^x+y_2[/mm]
>  
> [mm]\frac{\partial f}{\partial x}(x,y_1,y_2)=2xy_1+e^x[/mm]
>  
> [mm]\frac{\partial f}{\partial x}(x,-1,1)=-2x+e^x\neq 0[/mm]
>  
> Wovon man sich leicht überzeugen kann.
>  Also kann ich den Satz über implizite Funktionen
> anwenden.
> Daher existiert eine differenzierbare Funktion
>  
> [mm]g:(-1,1)\to\mathbb{R}[/mm] mit [mm]f(g(y_1,y_2), y_1,y_2)=0[/mm]
>  
> Passt das soweit?


Es ist noch zu zeigen, daß es ein x gibt,
das die Gleichung

[mm]f(x,-1,1)=-x^2+e^x+1=0[/mm]

erfüllt.


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Implizite Funktion 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:36 Fr 25.07.2014
Autor: YuSul

Das sollte leicht mit dem Zwischenwert machbar sein.
Die Funktion ist auf [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] stetig. Also einfach einen Wert suchen welcher negativ ist, und einen positiven Funktionswert. Damit wäre die Existenz einer Nullstelle sicher.

z.B

x=-3

[mm] $\frac{1}{e^3}+1-9<0$ [/mm]

x=3

[mm] $e^3+1-17>0$ [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Implizite Funktion 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:50 Fr 25.07.2014
Autor: MathePower

Hallo YuSul,

> Das sollte leicht mit dem Zwischenwert machbar sein.
> Die Funktion ist auf [mm]\mathbb{R}[/mm] stetig. Also einfach einen
> Wert suchen welcher negativ ist, und einen positiven
> Funktionswert. Damit wäre die Existenz einer Nullstelle
> sicher.
>
> z.B
>  
> x=-3
>
> [mm]\frac{1}{e^3}+1-9<0[/mm]
>  
> x=3
>
> [mm]e^3+1-17>0[/mm]


[ok]


Gruss
MathePower

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Implizite Funktion 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:54 Fr 25.07.2014
Autor: YuSul

Okay, und wie mach ich nun weiter wenn ich weiß, dass es eine solche differenzierbare Abbildung gibt?

[mm] $f(g(y_1,y_2),y_1,y_2)=0$ [/mm]

[mm] $g(y_1, y_2)y_1+e^{g(y_1,y_2)}+y_2=0$ [/mm]

Nun würde ich dies nach [mm] $g(y_1, y_2)$ [/mm] auflösen und dann beide Seiten partiell differenzieren.

Bezug
                                        
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Implizite Funktion 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:59 Fr 25.07.2014
Autor: MathePower

Hallo YuSul,

> Okay, und wie mach ich nun weiter wenn ich weiß, dass es
> eine solche differenzierbare Abbildung gibt?
>  
> [mm]f(g(y_1,y_2),y_1,y_2)=0[/mm]
>  
> [mm]g(y_1, y_2)y_1+e^{g(y_1,y_2)}+y_2=0[/mm]
>  
> Nun würde ich dies nach [mm]g(y_1, y_2)[/mm] auflösen und dann
> beide Seiten partiell differenzieren.


Eine explizite Auslösung nach [mm]g(y_1, y_2)[/mm] ist hier nicht möglich.

Die partiellen Ableitungen von [mm]g(y_1, y_2)[/mm] kannst Du
schon anhand dieser Gleichung bestimmen.


Gruss
MathePower

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Implizite Funktion 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:02 Fr 25.07.2014
Autor: YuSul

Ich weiß leider nicht so recht wie ich hier nun die Ableitung bilden kann.
Mich stört das [mm] $g(y_1, y_2)$. [/mm]
Wie gehe ich damit um? Einfach über die Kettenregel? Aber da könnte ich es wohl allgemein auch nicht aufschreiben...

Bezug
                                                        
Bezug
Implizite Funktion 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:20 Fr 25.07.2014
Autor: MathePower

Hallo YuSul,

> Ich weiß leider nicht so recht wie ich hier nun die
> Ableitung bilden kann.
> Mich stört das [mm]g(y_1, y_2)[/mm].
> Wie gehe ich damit um? Einfach über die Kettenregel? Aber
> da könnte ich es wohl allgemein auch nicht aufschreiben...


Einfach die gegebene Gleichung partiell
nach [mm]y_{1}[/mm] und [mm]y_{2}[/mm] ableiten.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
Implizite Funktion 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:28 Fr 25.07.2014
Autor: YuSul

Ja, und was wäre

[mm] $\frac{\parital g(y_1,y_2)y_1}{\partial y_1}(y_1,y_2)$ [/mm]

Es ist ja gerade mein Problem, dass ich hier nicht genau wie ich es hinschreiben kann.

Bezug
                                                                        
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Implizite Funktion 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:32 Fr 25.07.2014
Autor: MathePower

Hallo YuSul,

> Ja, und was wäre
>
> [mm]\frac{\parital g(y_1,y_2)y_1}{\partial y_1}(y_1,y_2)[/mm]
>  


Die partielle Ableitung von g nach [mm]y_{1}[/mm]:

[mm]\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_1}[/mm]


> Es ist ja gerade mein Problem, dass ich hier nicht genau
> wie ich es hinschreiben kann.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                
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Implizite Funktion 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:37 Fr 25.07.2014
Autor: YuSul

Und die partielle Ableitung von g nach [mm] y_2 [/mm] wäre dann einfach:

[mm] $\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_2}$ [/mm]

Dann erhalte ich also einfach:

[mm] $\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_1}+\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_1}e^{g(y_1,y_2)}$ [/mm]

und

[mm] $\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_2}y_1+\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_2}e^{g(y_1,y_2)}+1$ [/mm]

?

Bezug
                                                                                        
Bezug
Implizite Funktion 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:45 Fr 25.07.2014
Autor: MathePower

Hallo YuSul,

> Und die partielle Ableitung von g nach [mm]y_2[/mm] wäre dann
> einfach:
>  
> [mm]\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_2}[/mm]
>  


[ok]


> Dann erhalte ich also einfach:
>  
> [mm]\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_1}+\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_1}e^{g(y_1,y_2)}[/mm]
>  
> und
>  
> [mm]\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_2}y_1+\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_2}e^{g(y_1,y_2)}+1[/mm]
>  
> ?


Das musst Du nochmal nachrechnen.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                
Bezug
Implizite Funktion 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:53 Fr 25.07.2014
Autor: YuSul

Aber

[mm] $g(y_1,y_2)y_1$ [/mm] müsste ich doch mit der Produktregel nach [mm] $y_1$ [/mm] ableiten, oder nicht. So, dass man

[mm] $\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_2}y_2+g(y_1,y_2)$ [/mm] erhalten sollte, oder nicht?

Dementsprechend verstehe ich deine Lösung hierfür nicht ganz.

Wo genau entsteht in meinem Vorschlag ein Fehler?

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Implizite Funktion 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:03 Fr 25.07.2014
Autor: MathePower

Hallo YuSul,

> Aber
>
> [mm]g(y_1,y_2)y_1[/mm] müsste ich doch mit der Produktregel nach
> [mm]y_1[/mm] ableiten, oder nicht. So, dass man
>  
> [mm]\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_2}y_2+g(y_1,y_2)[/mm]
> erhalten sollte, oder nicht?
>


Dann muß hier aber stehen:

[mm]\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_\blue{1}}y_\blue{1}+g(y_1,y_2)[/mm]


> Dementsprechend verstehe ich deine Lösung hierfür nicht
> ganz.
>  
> Wo genau entsteht in meinem Vorschlag ein Fehler?


Ich ging von der in der Aufgabenstellung
gegebenen Gleichung aus.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Implizite Funktion 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:13 Fr 25.07.2014
Autor: YuSul

Dann ist meine Ableitung also bis auf diesen Tippfehler richtig?

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Implizite Funktion 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:44 Fr 25.07.2014
Autor: MathePower

Hallo YuSul,

> Dann ist meine Ableitung also bis auf diesen Tippfehler
> richtig?


Ja.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Implizite Funktion 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:10 Fr 25.07.2014
Autor: YuSul

Dann lautet nun also der Gradient:


[mm] $\nabla g(y_1,y_2)=\begin{pmatrix}\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_1}y_1+g(y_1,y_2)+\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_1}e^{g(y_1,y_2)}\\\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_2}y_1+\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_2}e^{g(y_1,y_2)}+1\end{pmatrix}$ [/mm]

?

Und nun muss ich nur noch

[mm] $\nabla [/mm] g(1,-1)$ bestimmen.

Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
Implizite Funktion 2: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:12 Fr 25.07.2014
Autor: YuSul

Könne mir noch jemand sagen ob mein Gradient so richtig ist und wie ich nun

[mm] \nabla [/mm] g(1,-1) berechnen kann.

Erwartet man da einen Zahlenwert, oder einfach einsetzen, denn g(1,-1) kennt man ja nicht. Obwohl, soll dies nicht Null sein?

Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
Implizite Funktion 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:40 Sa 26.07.2014
Autor: MathePower

Hallo YuSul,

> Dann lautet nun also der Gradient:
>  
>
> [mm]\nabla g(y_1,y_2)=\begin{pmatrix}\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_1}y_1+g(y_1,y_2)+\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_1}e^{g(y_1,y_2)}\\\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_2}y_1+\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_2}e^{g(y_1,y_2)}+1\end{pmatrix}[/mm]
>  
> ?
>  


Im Ausgangspost stand doch:

[mm] f(x,y_1,y_2)=x^2y_1+e^x+y_2 [/mm]

Demnach stimmen die ersten beiden Summanden
bei der Ableitung nach [mm]y_{1}[/mm] und der erste
Summand bei der Ableitung nach [mm]y_{2}[/mm] nicht.


> Und nun muss ich nur noch
>
> [mm]\nabla g(1,-1)[/mm] bestimmen.


Gruss
MathePower

Bezug
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