Implizite Funktionen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | F [mm] \colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}, [/mm] (x,y,z) [mm] \mapsto [/mm] ( [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] -3 , x + y + 2z -4 )
a) Zu zeigen : F((x,y,z)) = (0,0) ist im Punkt [mm] x_0=(1,1,1) [/mm] lokal eindeutig nach [mm] y=g_1(x) [/mm] auflösbar
b) Bestimme [mm] g_1^' [/mm] (1) und [mm] g_2^' [/mm] (1) |
Hallo ich hänge gerade bei dieser alten Klausuraufgabe.
Leider hatte ich bis jetzt bei impliziten Funktionen noch kein Beispiel, in der ich eine Variable y nur in Abhängigkeit von x ausdrücken will.
Bei (y,z)=g(x) wäre mir klar was zu tun ist.
Also zuerst mal was ich bis jetzt habe.
Ich möchte den Satz über implizite Funktionen anwenden.
Vorraussetzungen:
1) F ist stetig partiell differenzierbar (stetig differenzierbar), da jede Komponente als Polynomfunmtion stetig partiel differenzierbar ist.
2) [mm] F(x_0)=(0,0)
[/mm]
3) [mm] (D_{yz}F)(x_0)=(2 [/mm] 2 [mm] \ 1 [/mm] 2) mit \ meine ich neue Zeile. Also das Ganze ungleich Null.
Also existiert nach dem Satz über implizite Funktionen eine Umgebung U [mm] \subset \mathbb{R} [/mm] von 1 und eine Umgebung V [mm] \subset \mathbb{R}^2 [/mm] von (1,1) und eine stetig differenzierbare Funktion g [mm] \colon [/mm] U [mm] \to [/mm] V mit F(x,y,z) = F(x,g(x)) für jedes x aus U
Für die Ableitung gilt dann:
(Dg)(1)=-( [mm] (D_{yz}F)(c) )^{-1} [/mm] * [mm] (D_{x}F)(c)
[/mm]
Das ist ja aber nicht das was in der Aufgabe gefragt ist, wenn ich das richtig verstanden habe.
Intuitiv würde ich ja sagen, dass ich die zweite Komponentenfunktion eindeutig nach z auflösen kann und dieses z dann in die erste Komponente einsetzen kann, diese könnte ich dann nach y auflösen und hätte nach dem Wurzelziehen zwei Funktionen.
Also
x+y+2z-4=0 <=> z=4-x-y (1)
[mm] x^2+y^2+z^3-3 [/mm] = 0 (2)
(1) in (2):
liefer mir dann 2 Funktionen für y , eine für die positive Wurzel eine für die negative. Aber wie wende ich das formal mit dem Satz an?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 So 21.08.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
du sollst ja die Umkehrfkt. nicht angeben, nur zeigen und dann für z=1 die Ableitung.
Gruß leduart
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Hallo, danke für die Antwort ich kann jedoch nicht so wirklich folgen.
Ich hab doch keine Umkehrfunktion angegeben? Ich soll ja aber in b) die Ableitung bestimmen aber mir ist auch nicht wirklich klar, was [mm] g_1(x) [/mm] und [mm] g_2(x) [/mm] darstellen soll.
oder ist hier bei der Aufgabe gemeint
y=g(x,z) und dann [mm] g_1 [/mm] die Ableitung bezüglich erster Komponente und [mm] g_2 [/mm] die Ableitung bezüglich der zweiten Komponente?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Mi 24.08.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:49 Mo 22.08.2016 | | Autor: | fred97 |
> F [mm]\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R},[/mm] (x,y,z) [mm]\mapsto[/mm] ( [mm]x^2[/mm]
> + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2[/mm] -3 , x + y + 2z -4 )
>
> a) Zu zeigen : F((x,y,z)) = (0,0) ist im Punkt [mm]x_0=(1,1,1)[/mm]
> lokal eindeutig nach [mm]y=g_1(x)[/mm] auflösbar
Das ist doch völlig sinnlos !!
>
> b) Bestimme [mm]g_1^'[/mm] (1) und [mm]g_2^'[/mm] (1)
Aha ! Also noch eine Funktion [mm] g_2.
[/mm]
Dann lautet die Aufgabe so:
Zeige, dass es eine Umgebung U [mm] \subseteq \IR [/mm] von 1 und eindeutig bestimmte Funktionen [mm] g_1,g_2:U \to \IR [/mm] gibt mit:
[mm] g_1(1)=g_2(1)=1 [/mm] und [mm] F(x,g_1(x),g_2(x))=(0,0) [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] U.
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> Hallo ich hänge gerade bei dieser alten Klausuraufgabe.
>
> Leider hatte ich bis jetzt bei impliziten Funktionen noch
> kein Beispiel, in der ich eine Variable y nur in
> Abhängigkeit von x ausdrücken will.
>
> Bei (y,z)=g(x) wäre mir klar was zu tun ist.
>
> Also zuerst mal was ich bis jetzt habe.
>
> Ich möchte den Satz über implizite Funktionen anwenden.
>
> Vorraussetzungen:
> 1) F ist stetig partiell differenzierbar (stetig
> differenzierbar), da jede Komponente als Polynomfunmtion
> stetig partiel differenzierbar ist.
> 2) [mm]F(x_0)=(0,0)[/mm]
> 3) [mm](D_{yz}F)(x_0)=(2[/mm] 2 [mm]\ 1[/mm] 2) mit \ meine ich neue
> Zeile.
\ sieht man nicht. Dem Quelltext entnehme ich, dass Du die Matrix
[mm] \pmat{ 2 & 2 \\ 1 & 2 }
[/mm]
meinst. Das ist die richtige Matrix.
> Also das Ganze ungleich Null.
Ungleich Null reicht nicht ! Die obige Matrix muss invertierbar sein, was sie auch ist.
>
>
> Also existiert nach dem Satz über implizite Funktionen
> eine Umgebung U [mm]\subset \mathbb{R}[/mm] von 1 und eine Umgebung
> V [mm]\subset \mathbb{R}^2[/mm] von (1,1) und eine stetig
> differenzierbare Funktion g [mm]\colon[/mm] U [mm]\to[/mm] V mit F(x,y,z) =
> F(x,g(x)) für jedes x aus U
Genau, wobei [mm] g=(g_1,g_2).
[/mm]
>
> Für die Ableitung gilt dann:
> (Dg)(1)=-( [mm](D_{yz}F)(c) )^{-1}[/mm] * [mm](D_{x}F)(c)[/mm]
Was ist x und was ist c ? Wenn Du das hast, so berechne (Dg)(1).
>
> Das ist ja aber nicht das was in der Aufgabe gefragt ist,
Wenn die Aufgabe wirklich so lautet, so wird da Unsinn gefragt !
FRED
> wenn ich das richtig verstanden habe.
>
>
>
> Intuitiv würde ich ja sagen, dass ich die zweite
> Komponentenfunktion eindeutig nach z auflösen kann und
> dieses z dann in die erste Komponente einsetzen kann, diese
> könnte ich dann nach y auflösen und hätte nach dem
> Wurzelziehen zwei Funktionen.
>
> Also
>
> x+y+2z-4=0 <=> z=4-x-y (1)
> [mm]x^2+y^2+z^3-3[/mm] = 0 (2)
>
> (1) in (2):
> liefer mir dann 2 Funktionen für y , eine für die
> positive Wurzel eine für die negative. Aber wie wende ich
> das formal mit dem Satz an?
>
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Hallo Fred,
danke das war sehr hilfreich, hab jetzt mal die Aufgabenstellung so richtig verstanden.
Nur um auf Nummer sicher zu gehen:
ich suche g(x)=(g1(x),g2(x))=(y,z)
Dafür muss ich prüfen dass [mm] (D_{y,z})(1,1,1) [/mm] invertierbar ist.
Da F(1,1,1)=0 und F stetig diffbar
sind insgesamt die Vorr vom Satz über implizite Funktionen erfüllt und ich weiss dass es eine Umgebung U [mm] \subset \mathbb{R} [/mm] von 1 und eine Umgebung V [mm] \subset \mathbb{R}^2 [/mm] von (1,1) gibt, so dass ein stetig differenzierbares
g [mm] \colon [/mm] U [mm] \to [/mm] V, x [mm] \mapsto [/mm] g(x)=(g1(x),g2(x))
existiert mit
F(x,y,z) = F(x,g(x))=F(x,g1(x),g2(x)) für jedes x aus U. Also y=g1(x) so wie in Aufgabenstellung gefragt.
b)
Der Satz über implizite Funktionen gibt mir zudem:
[mm] Dg(1)=-[(D_{yz}F)(1,1,1)]^{-1}*D_{x}F(1,1,1)
[/mm]
Leider weiss ich nicht wie man hier gescheit ne Matrix eingibt aber ich mach es jetzt einfach mal so, dass nach a eine neue zeile kommt
=-(2 2 a 1 [mm] 2)^{-1}*(2 [/mm] a 1)
=(1 -1 a -1/2 1)*(2 a 1) = (-1 a 0) =(g'(x))=(g1'(x) a g2'(x))
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:53 Mo 22.08.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
> danke das war sehr hilfreich, hab jetzt mal die
> Aufgabenstellung so richtig verstanden.
>
> Nur um auf Nummer sicher zu gehen:
>
> ich suche g(x)=(g1(x),g2(x))=(y,z)
>
> Dafür muss ich prüfen dass [mm](D_{y,z})(1,1,1)[/mm] invertierbar
> ist.
> Da F(1,1,1)=0 und F stetig diffbar
>
> sind insgesamt die Vorr vom Satz über implizite Funktionen
> erfüllt und ich weiss dass es eine Umgebung U [mm]\subset \mathbb{R}[/mm]
> von 1 und eine Umgebung V [mm]\subset \mathbb{R}^2[/mm] von (1,1)
> gibt, so dass ein stetig differenzierbares
> g [mm]\colon[/mm] U [mm]\to[/mm] V, x [mm]\mapsto[/mm] g(x)=(g1(x),g2(x))
> existiert mit
> F(x,y,z) = F(x,g(x))=F(x,g1(x),g2(x)) für jedes x aus U.
> Also y=g1(x) so wie in Aufgabenstellung gefragt.
>
> b)
> Der Satz über implizite Funktionen gibt mir zudem:
> [mm]Dg(1)=-[(D_{yz}F)(1,1,1)]^{-1}*D_{x}F(1,1,1)[/mm]
>
> Leider weiss ich nicht wie man hier gescheit ne Matrix
> eingibt aber ich mach es jetzt einfach mal so, dass nach a
> eine neue zeile kommt
>
> =-(2 2 a 1 [mm]2)^{-1}*(2[/mm] a 1)
> =(1 -1 a -1/2 1)*(2 a 1) = (-1 a 0) =(g'(x))=(g1'(x) a
Hier hast Du ein Minuszeichen verschlampert
=-(1 -1 a -1/2 1)*(2 a 1) = -(-1 a 0) =(1 a 0)=(g'(x))=(g1'(x) a
> g2'(x))
Sonst ist alles O.K.
FRED
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