Implizite Funktionen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:50 Mi 29.09.2004 | | Autor: | Gordon |
Hallo!
Da der Klausurtermin immer näher rückt, hoffe ich auf eure Mithilfe.
Wie löst man solche Aufgaben:
1.) Unter welcher Vorauss. definiert das Gleichungssystem
[mm] x_{1}y_{1}^{3} [/mm] + [mm] y_{2} [/mm] - [mm] x_{2}^{2} [/mm] = 0
[mm] 3y_{1}y_{2} [/mm] - [mm] x_{1} [/mm] - 4 = 0
implizit [mm] y_{1} [/mm] und [mm] y_{2} [/mm] als Funktionen von [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] in einer
Umgebung des Punktes ( [mm] x_{1}, x_{2},y_{1},y_{2} [/mm] ) ( hierüberall ein "Quer"
drüber... zur Kennzeichnung des Punktes, oben bei dem Gleichungssystem nicht ) , der das Gleichungssystem erfüllt?
1.) [mm] x_{2} \not= [/mm] 0
2.) [mm] x_{2} [/mm] = 0
3.) [mm] 3x_{1}y_{1}^{3} =y_{2}
[/mm]
4.) [mm] 3x_{1}y_{1}^{3} \not= y_{2} [/mm]
Auch hier - also bei 1.) bis 4.) - über allen x und y ein Querstrich.
Oder auch 2.)
Wie zeigt man, daß für P=( 0,0,0,0,) ( P=( a,b,x,y ) aus [mm] IR^{4} [/mm] )
das Gleichungssystem
[mm] x^{2} [/mm] - 2y + a = 0
[mm] y^{2} [/mm] - 2x + b = 0
auf jeden Fall implizit x und y als Funktionen von a und b in einer Umgebung von P definiert?
Wäre sehr nett, vielen Dank!
Gordon
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:14 Fr 01.10.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Gordon!
> 1.) Unter welcher Vorauss. definiert das Gleichungssystem
>
>
> [mm]x_{1}y_{1}^{3}[/mm] + [mm]y_{2}[/mm] - [mm]x_{2}^{2}[/mm] = 0
>
> [mm]3y_{1}y_{2}[/mm] - [mm]x_{1}[/mm] - 4 = 0
>
> implizit [mm]y_{1}[/mm] und [mm]y_{2}[/mm] als Funktionen von [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm]
> in einer
> Umgebung des Punktes ( [mm]x_{1}, x_{2},y_{1},y_{2}[/mm] ) (
> hierüberall ein "Quer"
> drüber... zur Kennzeichnung des Punktes, oben bei dem
> Gleichungssystem nicht ) , der das Gleichungssystem
> erfüllt?
>
> 1.) [mm]x_{2} \not=[/mm] 0
> 2.) [mm]x_{2}[/mm] = 0
> 3.) [mm]3x_{1}y_{1}^{3} =y_{2}
[/mm]
> 4.) [mm]3x_{1}y_{1}^{3} \not= y_{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$F(x_1,x_2,y_1,y_2) = \begin{pmatrix}F_1(x_1,x_2,y_1,y_2) \\ F_2(x_1,x_2,y_1,y_2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1y_1^3 + y_2 x_2^2 \\ 3y_1 y_2 - x_1 - 4 \end{pmatrix}$.
Wenn du in einer Umbebung von $(\bar{x_1}, \bar{x_2}, \bar{y_1}, \bar{y_2})$ nach $y_1$ und $y_2$ implizit auflösen willst, muss die Matrix
$A:= \left(\frac{\partial F_i}{\partial y_j} (\bar{x_1},\bar{x_2},\bar{y_1},\bar{y_2}) \right)_{i,j=1,2} = \begin{pmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial y_1} } (\bar{x_1},\bar{x_2},\bar{y_1},\bar{y_2}) & \frac{\partial F_1}{\partial y_2} } (\bar{x_1},\bar{x_2},\bar{y_1},\bar{y_2}) \\ \frac{\partial F_2}{\partial y_1} } (\bar{x_1},\bar{x_2},\bar{y_1},\bar{y_2}) & \frac{\partial F_2}{\partial y_2} (\bar{x_1},\bar{x_2},\bar{y_1},\bar{y_2}) \end{pmatrix} } = \begin{pmatrix} 3\bar{x_1} \bar{y_1}^2 & 1 \\ 3 \bar{y_2} & 3 \bar{y_1 }\end{pmatrix}$
vollen Rang haben. Es gilt aber:
$\det(A) = 3 \cdot (3\bar{x_1} \bar{y_1}^3 - \bar{y_2})$.
Damit $\det(A) \ne 0$ gilt, muss also:
$3\bar{x_1} \bar{y_1}^3 - \bar{y_2} \ne 0$
sein. Lösung 4.) ist also richtig. 
> Oder auch 2.)
>
> Wie zeigt man, daß für P=( 0,0,0,0,) ( P=( a,b,x,y ) aus
> [mm]IR^{4}[/mm] )
> das Gleichungssystem
>
> [mm]x^{2}[/mm] - 2y + a = 0
> [mm]y^{2}[/mm] - 2x + b = 0
>
> auf jeden Fall implizit x und y als Funktionen von a und b
> in einer Umgebung von P definiert?
Wir definieren uns wieder:
$F(a,b,x,y) = [mm] \begin{pmatrix} x^2 - 2y + a \\ y^2 - 2x + b \end{pmatrix}$.
[/mm]
Es gilt:
$A:= [mm] \begin{pmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial x}(0,0,0,0) & \frac{\partial F_1}{\partial y}(0,0,0,0) \\ \frac{\partial F_2}{\partial x}(0,0,0,0) & \frac{\partial F_2}{\partial y}(0,0,0,0) \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$
[/mm]
und
[mm] $\det(A)= [/mm] -4 [mm] \ne [/mm] 0$.
Daher kann man in einer Umgebung von $(0,0,0,0)$ nach $(x,y)$ auflösen.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Fr 01.10.2004 | | Autor: | Gordon |
Hallo Julius,
vielen Dank!
Die Rechnung ist ja wunderbar einfach nachzuvollziehen, habe aber an den wohl entscheidenden Stellen noch Fragen: Warum muß, wie Du ja schreibst, die Matrix vollen Rang haben? Woher weiß ich so etwas, soll heißen, wo kann ich so etwas nachlesen - nicht, daß ich das nicht glaube -
unter welcher Thematik muß ich suchen , evtl. Differentiation von Gleichungssystemen - implizite Differentiation ist dies hier ja wohl eher nicht ?
Und - eine Bitte an alle, die das hier lesen - schaut euch doch mal meine
Aufgabe zur linearen Approximation an ( sicherlich Taylorpolynom ersten Grades ), die ich als 2. Aufgabe im Strang "partielle Elastizität und lineare Approximation" gestellt habe. Ist diese evtl. lösbar mit dem Eulertheorem??
Komme da leider überhaupt nicht vom Fleck, mir fehlt komplett der Ansatz.
Danke, Julius, für die Lösung und bis bald!
Gordon
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Fr 01.10.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Gordon!
Du musst das unter dem Stichwort "Satz über implizite Funktionen" suchen, den du zum Beispiel ![[]](/images/popup.gif) hier findest.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Sa 02.10.2004 | | Autor: | Gordon |
Hallo Julius!
Danke für deine Antwort und den Link!
Ich glaube, ich werde auch irgendwann mal ein ganz guter Mathematiker,
es gibt ja - wie ich durch euch u.a. mit euren vielen Linkverweisen - unendlich viele Möglichkeiten sich die ganze Materie sich über´s Internet selbst beizubringen.
Aber zu der Aufgabe bleibt meine Frage, vielleicht kannst du - oder jemand
anders - mir das in plastischen Worten erklären : Warum muß - wie du ja schreibst - die Matrix ( hier A ) vollen Rang haben, also det A [mm] \not= [/mm] 0 sein, wenn man - hier - nach [mm] y_{1} [/mm] und [mm] y_{2} [/mm] implizit auflösen will?
Danke für deine Hilfe!
Gordon
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:52 So 03.10.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Gordon!
Eine einfache Antwort von mir wäre: Schau dir den Beweis an, dann weißt du, wo man es braucht. 
Aber wir wollen es mal geometrischer aufziehen:
Denken wir uns mal die Funktion $u=F(x,y)$ durch eine Fläche im dreidimensionalen Raum dargestellt. Schneiden wir diese Fläche mit der $x-y-$Ebene, so kann man sich fragen, ob es eine Schnittkurve gibt, die sich in der Form $y=f(x)$ bzw. [mm] $x=\varphi(y)$ [/mm] darstellen lässt.
Eine erste Möglichkeit ist, dass die Fläche und die Ebene keinen gemeinsamen Puinkt haben. In einem solchen Fall gibt es selbstverständlich keine Schnittkurve. Man braucht also nur solche Fälle zu betrachten, in denen es einen Punkt [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] mit [mm] $F(x_0,y_0)$ [/mm] gibt; die Werte [mm] $x_0,y_0$ [/mm] heißen eine "Anfangslösung".
Wenn es eine Anfangslösung gibt (und das setzen wir ab jetzt voraus), bleiben zwei Möglichkeiten übrig.
Entweder ist die Tangentialebene im Punkt [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] horizontal, oder aber sie ist es eben nicht.
Ist sie es, dann kann leicht an Beispielen werden (die du übrigens in den verlinkten Beiträgen sogar findest), dass die Lösung $y=f(x)$ oder [mm] $x=\varphi(y)$ [/mm] nicht existieren muss. Zum Beispiel hat das Paraboloid [mm] $u=x^2 [/mm] + [mm] y^2$ [/mm] die Anfangslösung $x=0$, $y=0$, enthält aber keinen anderen Punkt der $x-y$-Ebene. Die Fläche $u=xy$ hat dieselbe Anfangslösung $x=0$, $y=0$ und schneidet die $x-y$-Ebene längs der Geraden $x=0$, $y=0$. Man kann jedoch in keiner Umgebung des Nullpunktes den ganzen Schnitt durch eine Funktion $y=f(x)$ oder durch eine Funktion [mm] $x=\varphi(y)$ [/mm] darstellen.
Andererseits ist es gut möglich, dass die Gleichung $F(x,y)=0$ eine Lösung hat, auch wenn die Tangentialebene in der Anfangslösung horizontal ist, wie zum Beispiel im Fall [mm] $(y-x)^4=0$.
[/mm]
In dem (entarteten) Fall einer horizontalen Tangentialebene kann daher keine allgemeine Behauptung aufgestellt werden. Die genannte Bedingung ist also nicht notwendig, nur hinreichend für die Auflösbarkeit!
Es bleibt nun die Möglichkeit übrig, dass in der Anfangslösung die Tangentialebene nicht horizontal ist (also der Fall, wo der Gradient nicht identisch verschwindet). Dann erkennen wir, dass "die Fläche $u=F(x,y)$ sich sozusagen nicht starke genug biegen kann", um einen Schnitt mit der $x-y-$Ebene in der Nähe von [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] in einer einzigen, eindeutig definierten Schnittkurve zu vermeiden, und dass ein Teil der Kurve in der Nähe der Anfangslösung durch die Gleichung $y=f(x)$ oder [mm] $x=\varphi(y)$ [/mm] dargestellt werden kann.
Ich hoffe das erweitert deine Intuition. Danke, lieber Richard Courant, für deine göttlichen Erklärungen ("Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung 2", Springer-Verlag), die ich nur geringfügig modifiziert und erweitert habe.
Liebe Grüße
Julius
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