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| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob durch die Gleichugen
a) [mm] x-\sin(y)+u(u+1)=0, -x^3+2e^y+u(u-2)=2
[/mm]
in einer Umgebung von u=0 zwei Funktionen [mm] u\mapsto [/mm] x(u), [mm] u\mapsto [/mm] y(u) definiert werden. |
Hallo,
ehrlich gesagt stehe ich recht ratlos vor dieser Aufgabe...
Das hat wohl das mit dem Satz über implizite Funktionen zu tun, oder?
Ist die Aufgabe irgendwas allgemeines, den man in einem Analysis Buch nachschlagen könnte?
Bin für jeden Tipp dankbar!
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:32 Di 10.05.2011 | | Autor: | willy89 |
Hallo,
eigentlich solltest du einfach den Satz über implizite Funktionen anwenden.
Wie sieht der denn bei euch aus?
Grüße
willy
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Hallo Theoretix,
> Untersuchen Sie, ob durch die Gleichugen
>
> a) [mm]x-\sin(y)+u(u+1)=0, -x^3+2e^y+u(u-2)=2[/mm]
>
> in einer Umgebung von u=0 zwei Funktionen [mm]u\mapsto[/mm] x(u),
> [mm]u\mapsto[/mm] y(u) definiert werden.
> Hallo,
>
> ehrlich gesagt stehe ich recht ratlos vor dieser
> Aufgabe...
> Das hat wohl das mit dem Satz über implizite Funktionen
> zu tun, oder?
Ja.
>
> Ist die Aufgabe irgendwas allgemeines, den man in einem
> Analysis Buch nachschlagen könnte?
Der Satz über implizite Funktionen sollte in einschlägigen
Analysis-Büchern behandelt werden..
>
> Bin für jeden Tipp dankbar!
>
> Liebe Grüße
Gruss
MathePower
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Hallo,
den Satz über implizite Funktionen haben wir formal schon kennen gelernt, jedoch weiß ich hier nicht, wie ich ihn konkret anwenden soll?!
Wie haben den Satz so kennen gelernt:
Sei [mm] G\subset\IR^{m+n} [/mm] eine offene Menge, [mm] (x_0,y_0)\inG, [/mm] wobei [mm] x_0\in\IR^m [/mm] und [mm] y_=\in\IR^n. [/mm] Sei [mm] f\in C^1(G\to\IR^n) [/mm] eine Funktion, welche die Folgenden Eigenschaften erfüllt:
[mm] f(x_0,y_0)=0\in\IR^n
[/mm]
[mm] \partial_yf(x_9,y_0) [/mm] ist eine reguläre [mm] n\times [/mm] n Matrix
DANN gibt es eine Umgebung [mm] U_m\subset\IR^m [/mm] von [mm] x_0, [/mm] sodass es für jedes [mm] x’\in U_m [/mm] ein y’=y’(x’) gibt, mit der Eigenschaft, dass:
[mm] (x’,y’(x’)\in [/mm] G
f(x’,y’(x’))=0
...D.h. um diesen Satz anzuwenden muss ich erst einmal prüfuen, ob die Voraussetzungen erfüllt sind, oder?
Die beiden gegebenen Gleichungen sind doch wohl Funktionen von x,y, und u, oder nicht?Also:
[mm] F_1(x,y,u)=x-\sin(y)+u(u+1)=0 [/mm] und [mm] F_2(x,y,u)=-x^3+2e^y+u(u-2)-2=0
[/mm]
Also existieren doch offensichtlich [mm] x_0, y_0, [/mm] sodass [mm] F_1 [/mm] bzw [mm] F_2=0 [/mm] sind?
Bin ich da irgendwie auf den richtigen Weg und wie müsste ich weiter machen?
Bitte um Hilfe,
danke schon im Voraus!
Liebe Grüße
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Hallo Theoretix,
> Hallo,
>
> den Satz über implizite Funktionen haben wir formal schon
> kennen gelernt, jedoch weiß ich hier nicht, wie ich ihn
> konkret anwenden soll?!
>
> Wie haben den Satz so kennen gelernt:
>
> Sei [mm]G\subset\IR^{m+n}[/mm] eine offene Menge, [mm](x_0,y_0)\inG,[/mm]
> wobei [mm]x_0\in\IR^m[/mm] und [mm]y_=\in\IR^n.[/mm] Sei [mm]f\in C^1(G\to\IR^n)[/mm]
> eine Funktion, welche die Folgenden Eigenschaften
> erfüllt:
>
> [mm]f(x_0,y_0)=0\in\IR^n[/mm]
>
> [mm]\partial_yf(x_9,y_0)[/mm] ist eine reguläre [mm]n\times[/mm] n Matrix
>
> DANN gibt es eine Umgebung [mm]U_m\subset\IR^m[/mm] von [mm]x_0,[/mm] sodass
> es für jedes [mm]x’\in U_m[/mm] ein y’=y’(x’) gibt, mit der
> Eigenschaft, dass:
>
> [mm](x’,y’(x’)\in[/mm] G
>
> f(x’,y’(x’))=0
>
> ...D.h. um diesen Satz anzuwenden muss ich erst einmal
> prüfuen, ob die Voraussetzungen erfüllt sind, oder?
> Die beiden gegebenen Gleichungen sind doch wohl Funktionen
> von x,y, und u, oder nicht?Also:
>
> [mm]F_1(x,y,u)=x-\sin(y)+u(u+1)=0[/mm] und
> [mm]F_2(x,y,u)=-x^3+2e^y+u(u-2)-2=0[/mm]
>
> Also existieren doch offensichtlich [mm]x_0, y_0,[/mm] sodass [mm]F_1[/mm]
> bzw [mm]F_2=0[/mm] sind?
Ja, und genau diese [mm]x_{0}, \ y_{0}[/mm] gilt es herauszufinden.
>
> Bin ich da irgendwie auf den richtigen Weg und wie müsste
> ich weiter machen?
Der Weg ist richtig.
Setze [mm]x=x\left(u\right), \ y=y\eft(u\right)[/mm] und differenziere dann.
Dann bekommst Du ein Gleichungssystem.
>
> Bitte um Hilfe,
> danke schon im Voraus!
>
> Liebe Grüße
Gruss
MathePower
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