Implizite Funktionen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:56 Fr 22.06.2012 | | Autor: | Denis92 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion [mm] f:\IR^3->\IR [/mm] mit f(x,y,z) = [mm] x^3y^3+z^3+z^2-3xyz
[/mm]
Zeigen Sie, dass in einer Umgebung von (1,1) eine stetig differenzierbare Funktion g(x,y) existiert, mit g(1,1)=1 und f(x,y,z) = 0 |
Hallo Matheforum,
wie man unschwer erkennen kann haben wir in der Vorlesung mit impliziten Funktionen begonnen. Unter anderem haben wir den Hauptsatz über implizite Funktionen bewiesen. Leider bin ich bzgl. obiger Fragestellung unsicher. Hier mein Ansatz:
Es ist Sei U [mm] \subset \IR^2, V\subset \IR. [/mm] Dann ist [mm] f:U\times [/mm] V -> [mm] \IR [/mm] für fest gegebene (x,y) [mm] \in [/mm] U, z [mm] \in [/mm] V. Nun ist g(1,1) = 1, d.h. f(1,1,g(1,1)) = f(1,1,1)=0. Folglich handelt es sich bei f auch wirklich um eine implizite Funktion.
Nun ist die Ableitung meiner Funktion f:
D^2f(x,y,z) = [mm] \pmat{6xy^3 & 9x^2y^2-3z & -3y \\ 9x^2y^2-3z & 6yx^3 & -3x \\ -3y & -3x & 6z+2}
[/mm]
also für [mm] (x_0,y_0,z_0)=(1,1,g(1,1)) [/mm] = (1,1,1) folgt:
D^2f(1,1,1) [mm] =\pmat{1 & 6 & -3\\6&6&-3\\-3&-3 & 8}
[/mm]
Die Determinante davon ist -195 => Die Matrix ist invertierbar.
Das heißt an dieser Stelle kann ich doch jetzt den Hauptsatz anwenden, oder?
D.h.:
Es existieren offene Mengen [mm] U_1\subset [/mm] U, [mm] (x,y)\in U_1, [/mm] und [mm] z\in V_1 \subset [/mm] V, sowie eine stetig diffbare Abbildung [mm] g:U_1 [/mm] -> [mm] V_1, [/mm] sodass die Gleichung für alle Paare [mm] ((x,y),z)\in U_1\times V_1 [/mm] gelöst wird, d.h. g(x,y) = z, [mm] (x,y)\in U_1, z\in V_1.
[/mm]
Ist der Beweis bis hier hin korrekt? In der Vorlesung hatten wir das ganze nur mit dem [mm] \IR^2, [/mm] und googlen hat leider auch nichts weiter ergeben.
Würde mich über ein Feedback freuen,
liebe Grüße, Denis 
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Hallo Denis92,
> Gegeben sei die Funktion [mm]f:\IR^3->\IR[/mm] mit f(x,y,z) =
> [mm]x^3y^3+z^3+z^2-3xyz[/mm]
> Zeigen Sie, dass in einer Umgebung von (1,1) eine stetig
> differenzierbare Funktion g(x,y) existiert, mit g(1,1)=1
> und f(x,y,z) = 0
> Hallo Matheforum,
> wie man unschwer erkennen kann haben wir in der Vorlesung
> mit impliziten Funktionen begonnen. Unter anderem haben wir
> den Hauptsatz über implizite Funktionen bewiesen. Leider
> bin ich bzgl. obiger Fragestellung unsicher. Hier mein
> Ansatz:
>
> Es ist Sei U [mm]\subset \IR^2, V\subset \IR.[/mm] Dann ist
> [mm]f:U\times[/mm] V -> [mm]\IR[/mm] für fest gegebene (x,y) [mm]\in[/mm] U, z [mm]\in[/mm] V.
> Nun ist g(1,1) = 1, d.h. f(1,1,g(1,1)) = f(1,1,1)=0.
> Folglich handelt es sich bei f auch wirklich um eine
> implizite Funktion.
> Nun ist die Ableitung meiner Funktion f:
>
> D^2f(x,y,z) = [mm]\pmat{6xy^3 & 9x^2y^2-3z & -3y \\ 9x^2y^2-3z & 6yx^3 & -3x \\ -3y & -3x & 6z+2}[/mm]
>
Das ist die Matrix der zweiten partiellen Ableitungen,
auch Hesse-Matrix genannt.
> also für [mm](x_0,y_0,z_0)=(1,1,g(1,1))[/mm] = (1,1,1) folgt:
>
> D^2f(1,1,1) [mm]=\pmat{1 & 6 & -3\\6&6&-3\\-3&-3 & 8}[/mm]
>
> Die Determinante davon ist -195 => Die Matrix ist
> invertierbar.
>
In der ersten Zeile und ersten Spalte muss eine 6 stehen.
Somit verschwindet die Determinante.
> Das heißt an dieser Stelle kann ich doch jetzt den
> Hauptsatz anwenden, oder?
> D.h.:
>
> Es existieren offene Mengen [mm]U_1\subset[/mm] U, [mm](x,y)\in U_1,[/mm] und
> [mm]z\in V_1 \subset[/mm] V, sowie eine stetig diffbare Abbildung
> [mm]g:U_1[/mm] -> [mm]V_1,[/mm] sodass die Gleichung für alle Paare
> [mm]((x,y),z)\in U_1\times V_1[/mm] gelöst wird, d.h. g(x,y) = z,
> [mm](x,y)\in U_1, z\in V_1.[/mm]
>
> Ist der Beweis bis hier hin korrekt? In der Vorlesung
> hatten wir das ganze nur mit dem [mm]\IR^2,[/mm] und googlen hat
> leider auch nichts weiter ergeben.
>
> Würde mich über ein Feedback freuen,
> liebe Grüße, Denis
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Fr 22.06.2012 | | Autor: | Denis92 |
Danke für die schnelle Antwort. Du hast natürlich Recht, dass es sich damit um die Hessematrix handelt.
Und in der in (1,1,1) ausgewerteten Matrix ist natürlich auch ein Fehler drin.
Was aber sagt mir das? In meinen Aufzeichnungen steht, dass die Abbildung g mit den gewünschten Eigenschaften genau dann existiert, wenn die Hessematrix invertierbar ist, sprich in meinem Fall existiert die Abbildung nicht ? Oder sehe ich das falsch?
In der Aufgabenstellung hört sich das aber anders an..
Denis
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Hallo Denis92,
> Danke für die schnelle Antwort. Du hast natürlich Recht,
> dass es sich damit um die Hessematrix handelt.
> Und in der in (1,1,1) ausgewerteten Matrix ist natürlich
> auch ein Fehler drin.
>
> Was aber sagt mir das? In meinen Aufzeichnungen steht, dass
> die Abbildung g mit den gewünschten Eigenschaften genau
> dann existiert, wenn die Hessematrix invertierbar ist,
So einen Satz kenne ich nicht.
> sprich in meinem Fall existiert die Abbildung nicht ? Oder
> sehe ich das falsch?
Du musst doch zeigen, daß die partielle Ableitung nach z
in dem gegegben Punkt nicht verschwindet.
> In der Aufgabenstellung hört sich das aber anders an..
>
> Denis
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:22 Fr 22.06.2012 | | Autor: | Denis92 |
Okay, dann hab ich das wohl falsch verstanden. Also:
[mm] f_z(x_0,y_0,z_0) [/mm] = [mm] f_z(1,1,1)= 3*1^2+2*1-3*1*1=2 [/mm] also nicht Null also gilt der Satz.
Ich denke damit ist alles beantwortet, vielen dank :)
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