Impliziter Euler und Newton < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 So 26.10.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle.
ich habe die folgende nichtlineare DGL vorliegen
[mm] $x'\,=\,B^{-1}\frac{6}{h}(G(x)-\frac{1}{h}Ax)$
[/mm]
wobei [mm] $A,B\in\IR^{n\times n}$, $G\in\IR^{n}$ [/mm] und $h>0$. Hierbei haben A und B vollen Rang (genauer sind sie invertierbar und tridiagonal) und $G$ ist ein Vektor mit einer Nichtlinearität, d.h. der erste Eintrag von $G$ hat beispielsweise die Form
[mm] $G_1(x)\,=\,x_1+x_2-x_1^3-x_2^3+x_1x_2^2-x_1^2x_2$
[/mm]
ohne weiter auf die Gestalt einzugehen.
Aufgabe/Frage: Nun würde ich diese DGL gerne mir dem impliziten Euler-Verfahren lösen. Dieses Verfahren liefert mir
[mm] $x_{n+1}\,=\,x_{n}+k\cdot[B^{-1}\frac{6}{h}(G(x_{n+1})-\frac{1}{h}Ax_{n+1})]$
[/mm]
Wie aber erhalten ich jetzt einen Wert für [mm] $x_{n+1}$? [/mm] Ich denke, dass ich ein Newton-Schritt machen muss, aber wie? Wenn ich mir die Funktion
[mm] $f(x_{n+1})\,:=\,x_n-x_{n+1}+k\cdot[B^{-1}\frac{6}{h}(G(x_{n+1})-\frac{1}{h}Ax_{n+1})]$
[/mm]
definiere, ist doch das Ziel des Newton-Verfahrens, eine Nullstelle für $f$ zu finden. Haben wir eine gefunden, so ist diese der von mir gesuchte Wert, richtig?
Frage: Aber wie implementiere ich diesen Newton-Schritt? Könnte mir jemand dabei behilflich sein? Das wäre echt super.
Vielen Dank schon einmal.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:05 Mo 27.10.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
hat sich erledigt. Hab's hinbekommen.
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> ich habe die folgende nichtlineare DGL vorliegen
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> [mm]x'\,=\,B^{-1}\frac{6}{h}(G(x)-\frac{1}{h}Ax)[/mm]
>
> [mm]G_1(x)\,=\,x_1+x_2-x_1^3-x_2^3+x_1x_2^2-x_1^2x_2[/mm]
>
> [mm]x_{n+1}\,=\,x_{n}+k\cdot[B^{-1}\frac{6}{h}(G(x_{n+1})-\frac{1}{h}Ax_{n+1})][/mm]
>
> [mm]f(x_{n+1})\,:=\,x_n-x_{n+1}+k\cdot[B^{-1}\frac{6}{h}(G(x_{n+1})-\frac{1}{h}Ax_{n+1})][/mm]
Hallo Denny,
Nach deiner Mitteilung hast du inzwischen eine Lösung
hinbekommen. Ich habe die Aufgabe erst jetzt angetroffen
und habe eine Vermutung, weshalb du vorher keine Antwort
bekommen hast. So wie ich sehe, verwendest du die
Indizierung bei den [mm] x_1, x_2, x_3, [/mm] .... [mm] ,x_n, x_{n+1} [/mm] in
zwei ganz verschiedenen Bedeutungen: einerseits zur
Nummerierung der Komponenten eines einzelnen Vektors
und andererseits auch für die fortlaufenden Nummern der
Vektoren für die numerische schrittweise Lösung der DGL.
Dies ist zumindest doch sehr verwirrend ...
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:58 Mo 27.10.2008 | | Autor: | Denny22 |
Oh ja, da hast Du völlig recht. Die Vektor- und Iterationsindizierung haben die selben Bezeichnungen. Das war ein Versehen, allerdings nicht der Grund wesegen ich es nicht hinbekommen habe. Aber jetzt klappt es ja.
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