Implizites Eulerverfahren < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:55 Mi 27.02.2013 | | Autor: | SigmaBen |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Guten Abend,
ich habe ein Paar Startschwierigkeiten mit dem Impliziten Eulerverfahren.
Und zwar habe ich die Differentialgleichung:
[mm]y'=t*y, y(0) = 1[/mm]
Dazu kommt die Formel für das Eulerverfahren:
[mm]y_{k+1} = y_k+h*f(t_{k+1}, y_{k+1})[/mm]
Jetzt bin ich mir nicht sicher, wie genau ich Anfange.
Bei diesem Verfahren soll es ein ungelöstes Gleichungssystem geben, aber ich kann dieses nicht erkennen.
Nun ja, die meisten Werte sind gegeben, außer eben das [mm]y_{k+1}[/mm]. Wie fange ich nun an das Gleichungssystem zu lösen?
Setze ich für das [mm]f(t_{k+1}, y_{k+1})[/mm] einfach die Funktion ein oder muss ich das anders machen?
Ich bin für jede Hilfe dankbar,
MFG
Ben
|
|
| |
|
Hallo SigmaBen,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Guten Abend,
>
> ich habe ein Paar Startschwierigkeiten mit dem Impliziten
> Eulerverfahren.
>
> Und zwar habe ich die Differentialgleichung:
>
> [mm]y'=t*y, y(0) = 1[/mm]
>
> Dazu kommt die Formel für das Eulerverfahren:
>
> [mm]y_{k+1} = y_k+h*f(t_{k+1}, y_{k+1})[/mm]
>
> Jetzt bin ich mir nicht sicher, wie genau ich Anfange.
> Bei diesem Verfahren soll es ein ungelöstes
> Gleichungssystem geben, aber ich kann dieses nicht
> erkennen.
>
Nun, [mm]y_{k+1}[/mm] steht auf der linken und rechten Seite.
> Nun ja, die meisten Werte sind gegeben, außer eben das
> [mm]y_{k+1}[/mm]. Wie fange ich nun an das Gleichungssystem zu
> lösen?
>
Zunächst ist das zu lösenden Gleichungssystem aufzustellen.
Damit daraus ein lineares Gleichungssystem wird ist
[mm]f\left(t_{k+1},y_{k+1,j+1}\right)[/mm] durch das lineare Taylorpolynom
an dem bisher errechneten Wert [mm]y_{k+1,j}[/mm] anzunähern.
> Setze ich für das [mm]f(t_{k+1}, y_{k+1})[/mm] einfach die Funktion
> ein oder muss ich das anders machen?
>
> Ich bin für jede Hilfe dankbar,
>
> MFG
>
> Ben
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Mi 27.02.2013 | | Autor: | SigmaBen |
Hallo,
Danke für die Antwort.
Ich habe nun die Gleichung
[mm]y_{k+1} = y_k + h*y_{k+1}[/mm] aufgestellt und gelöst.
Als Lösung habe ich
[mm]y_{k+1} = \frac{1}{1-h}*y_k[/mm]
Wäre das ein richtiger Ansatz? In diese Gleichung kann ich dann die Vorherigen Werte einsetzen und den nächsten ausrechnen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:23 Mi 27.02.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Hallo,
>
> Danke für die Antwort.
>
> Ich habe nun die Gleichung
>
> [mm]y_{k+1} = y_k + h*y_{k+1}[/mm] aufgestellt und gelöst.
Das ist falsch.
Die Funktion f(t,y) lautet ja [mm] f(t,y)=t\cdot{y} [/mm] also müsstes Du auf
[mm] y_{k+1}=y_k+h*t_{k+1}*y_{k+1} [/mm] kommen. Du musst nun noch [mm] t_{k+1} [/mm] mit der Schrittweite h in Verbindung bringen.
Außerdem kann man die Lösung auch überprüfen, weil die Dgl. explizit lösbar ist.
Die Lösung lautet [mm] y(t)=e^{\bruch{t^2}{2}}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:46 Mi 27.02.2013 | | Autor: | SigmaBen |
Hallo,
läge ich mit der Gleichung
[mm]y_{k+1}=\frac{y_k}{1-ht}[/mm]
richtig?
Ich muss sagen ich habe ein Paar Probleme dieses Implizite Verfahren zu verstehen. Sähe der Graph so ähnlich aus wie der, der aus dem expliziten Verfahren entsteht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:59 Do 28.02.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein! was soll denn t sein?
was ist denn h, bzw [mm] t_k? [/mm] du gehst doch in Schrittweiten [mm] h=\Delta [/mm] t
vielleicht rechnest du erstmal [mm] y_1=y(h) [/mm] aus aus [mm] y_0=y(0), [/mm] dann daraus [mm] y_2=y(2h) [/mm] und dann erst allgemein. [mm] y_k [/mm] dann wird dir das auch klarer, was du tust.
Wesentlich anders wird der Verlauf auch nicht als beim expliziten Euler, aver für manche Dgl ist es geeigneter und dann auch genauer.
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:44 Do 28.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> läge ich mit der Gleichung
>
> [mm]y_{k+1}=\frac{y_k}{1-ht}[/mm]
>
> richtig?
Nein ! Sag mal, Dir wurde doch schon gesagt, wohin das geht :
$ [mm] y_{k+1}=y_k+h\cdot{}t_{k+1}\cdot{}y_{k+1} [/mm] $
Wenn Du Dir die Mühe gemacht hättest, nachzusehen, wie h und [mm] t_k [/mm] zusammenhängen, dann hättest Du erfahren:
[mm] t_k =t_0+kh
[/mm]
Bei Dir ist [mm] t_0=0
[/mm]
FRED
>
> Ich muss sagen ich habe ein Paar Probleme dieses Implizite
> Verfahren zu verstehen. Sähe der Graph so ähnlich aus wie
> der, der aus dem expliziten Verfahren entsteht?
|
|
|
|
