Impulsantwort ermitteln? < Signaltheorie < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Fr 13.12.2013 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Ein LTI-System zur Verarbeitung eines Eingangssignals x(n) sei über folgende Differenzengleichung gegeben: $y(n) - 3y(n-1) - 4y(n-2) = x(n) + 2x(n-1)$
Aufgabe: Ermitteln sie die Impulsantwort $h(n)$ für $n=-5 [mm] \dots [/mm] 10$. |
Hi Leute, Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ehrlich gesagt weiß ich jetzt gar nicht so wirklich wie ich da jetzt ran gehen soll. Wir haben in der Vorlesung unter anderem die Faltungsoperation gelernt. Muss ich nun über obige Differenzengleichung die Faltungsoperation anwenden?
Kann mir jemand weiterhelfen, damit ich überhaupt mal Zugang zu dieser Aufgabe bekomme?
Das hab ich bisher gemacht:
$y(n) - 3y(n-1) - 4y(n-2) = x(n) + 2x(n-1) [mm] \Leftrightarrow [/mm] x(n) = y(n) - 3y(n-1) - 4y(n-2)+2x(n-1)$
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> Ein LTI-System zur Verarbeitung eines Eingangssignals x(n)
> sei über folgende Differenzengleichung gegeben: [mm]y(n) - 3y(n-1) - 4y(n-2) = x(n) + 2x(n-1)[/mm]
>
> Aufgabe: Ermitteln sie die Impulsantwort [mm]h(n)[/mm] für [mm]n=-5 \dots 10[/mm].
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> Hi Leute, Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Ehrlich gesagt weiß ich jetzt gar nicht so wirklich wie
> ich da jetzt ran gehen soll. Wir haben in der Vorlesung
> unter anderem die Faltungsoperation gelernt. Muss ich nun
> über obige Differenzengleichung die Faltungsoperation
> anwenden?
>
> Kann mir jemand weiterhelfen, damit ich überhaupt mal
> Zugang zu dieser Aufgabe bekomme?
>
> Das hab ich bisher gemacht:
>
> [mm]y(n) - 3y(n-1) - 4y(n-2) = x(n) + 2x(n-1) \Leftrightarrow x(n) = y(n) - 3y(n-1) - 4y(n-2)+2x(n-1)[/mm]
I denke, du sollst das mit Hilfe der Laplace Transformation lösen.
Wandle die DGL in den Laplace Bereich um, und Berechne dir dann die Impulsantwort.
Valerie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Fr 13.12.2013 | | Autor: | bandchef |
Laplace Transformationen haben wir nicht gelernt. Wir haben nur z-Transformation gelernt. Geht das auch mit der?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Fr 13.12.2013 | | Autor: | bandchef |
Ich hab dann mal versucht die Differenzengleichung zu einer z-Transformierten zu machen:
[mm] $1Y(z)\cdot [/mm] z - [mm] 3Y(z)\cdot z^{-1} [/mm] - [mm] 4Y(z)\cdot z^{-2} [/mm] = 1X(z) + [mm] 2X(z)\cdotz^{-1}$
[/mm]
Ist das so richtig?
Edit: Daraus folgt dann:
$H(z) = [mm] \frac{Y(z)}{X(z)} [/mm] = [mm] \frac{1+2\cdot z^{-1}}{z-3\cdot z^{-1} - 4\cdot z^{-2}}$
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:55 Fr 13.12.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
ja, das ist richtig so.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Fr 13.12.2013 | | Autor: | bandchef |
Ok. Danke für die Antwort.
Nun ist es ja anscheinend weiter nötig, die Pole und Nullstellen der z-Transfomierten zu berechnen.
Ich hätte nun für das Nennerpolynom [mm] $z-3\cdot z^{-1} [/mm] - 4 [mm] \cdot z^{-2}$ [/mm] die Polstelle bei [mm] $z_P [/mm] = 0$ berechnet. Sie man ja eigentlich. Nur bei z=0 wird das Nennerpolynom 0.
Was mir aber Kopfschmerzen bereitet, sind die Nullstellen! Ich hab ehrlich gesagt noch nie Nullstellen von so einem Polynom berechnet! Wenn ich nun das Nennerpolynom mal extrahiert betrachte, steht dann folgendes da:
[mm] $z-3\cdot z^{-1} [/mm] - 4 [mm] \cdot z^{-2}=0 \Leftrightarrow z-3\cdot \frac{1}{z} [/mm] - [mm] 4\cdot \frac{1}{z^2}=0 \Leftrightarrow z-\frac{1}{z}\left( -3-4\cdot\frac{1}{z} \right)=0 \Leftrightarrow [/mm] ?$
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 Fr 13.12.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo bandchef,
hier hilft der Übersichtlichkeit halber ein kleiner Trick weiter, indem Du die rechte Seite der Gleichung mit einer 1 multiplizierst, die aber gerade so geschrieben wird, dass in in Deinem Bruch nur noch positive Potenzen in z auftauchen.
Bei Deiner Aufgabe haut das hin, indem Du Zähler und Nenner mit [mm] z^2 [/mm] multiplizierst.
Dann steht da
[mm] H(z) = \bruch{1 + 2z}{z^3 - 3z -4} [/mm]
Davon Pole und Nullstellen zu bestimmen, geht zumindest mir einfacher von der Hand.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Sa 14.12.2013 | | Autor: | bandchef |
Hm, ok. Sehr nützlicher Trick! Aber ich hab hier nun ein Polynom vom dritten Grad im Nenner. Soweit ich mich noch erinnern kann, kann man keine Nullstellen vom dritten Grad bestimmen, oder? Das einzige was mir einfällt, dem Problem bei zu kommen ist die Polynomdivision. Ich hab das hier nun mal gemacht und machen lassen und bin nur auf komplexe Nullstellen gekommen! Kann es sein, dass diese Aufgabe vielleicht gar nicht zur Handrechnung vorgesehen ist, sondern man dies mit Matlab (oder ähnlich) lösen sollte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Sa 14.12.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo bandchef,
das möchte ich nicht ausschließen, dass dies für eine numerische Bearbeitung gedacht war. Wenn es sich um ein reelles Ausgangssignal handelt, so müssen nach den Regeln der Netzwerktheorie die Polstellen reell oder auch konjugiert komplex zueinander sein. Bei einem Polynom dritten Grades tippe ich deswegen auf eine relle und zwei konjugiert komplexe Polstellen.
Kannst Du mir mal Deine reelle Polstelle verraten?
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:57 So 15.12.2013 | | Autor: | bandchef |
> Kannst Du mir mal Deine reelle Polstelle verraten?
Die reellwertige Polstelle lautet: 2,195823345445647. Die hab ich aber nicht per Hand berechnet, sondern mir ausgeben lassen. Es gibt dann, wie du richtig vermutet hast, noch zwei komplexe Nullstellen: [mm] $x_1=-1,0979116727228235 [/mm] - [mm] 0,7850032632435903\cdot [/mm] i$ und $-1,0979116727228235 + 0,7850032632435903 [mm] \cdot [/mm] i$
Ich gehe mittlerweile wirklich davon aus, dass diese Aufgabe eigentlich für Matlab bzw. numerische Programme gedacht war, da wir bisher keine iterativen Methoden kennengelernt haben (und auch nicht werden), die uns auf solche Ergebnisse bringen würden! Vor allem aber auch deswegen, weil wir in der gesamten Vorlesung schon immer wieder mal auf Matlab zurückgegriffen haben!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:04 So 15.12.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo bandchef,
ja, das ist dann wohl so gemeint. Durch einfaches Einsetzen einer 2 und einer 3 in den Nennerausdruck war mir klar, dass irgendwo in der Nähe der 2 eine Nullstelle zu finden sein muss. By the way: Eine Angabe mit 1 oder 2 Nachkommastellen langt komplett, alles andere ist sowieso nicht realisierbar.
Wenn Du sagst, dass ihr schon häufiger Matlab für so was eingesetzt habt, dann ist es wohl hier nicht verboten. Zu meiner Zeit gab es das noch nicht, man hätte ein Fortran-Programm (damals FORTRAN77) zur Nullstellenbestimmung schreiben müssen, das komplexe Zahlen handeln kann.
Viele Grüße,
Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 Fr 13.12.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo bandchef,
ja, da es sich hier um diskrete Signale handelt, ist die z-Transformation die richtige.
Viele Grüße,
Infinit
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Hallo bandchef,
Infinit hat es ja bereits richtiggestellt.
Natürlich macht hier nur die z-Transformation Sinn.
Es handelt sich immerhin um ein Zeitdiskretes Signal.
Für Zeitkontinuierliche Signale kannst du die Laplace Transformation verwenden.
Dankeschön Infinit und entschuldigt bitte die kleine Verwirrung.
Valerie
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