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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:11 So 27.11.2005 | | Autor: | Sandeu |
Hallo,
zu allererst mal einen schönen ersten Advent...
Ich habe die Aufgabe, den Grenzwert der konvergenten Reihe zu bestimmen:
[mm] \summe_{n=2}^{ \infty} \bruch{1}{ n^{2} - 1}
[/mm]
Mein Lösungsweg:
Finde A, B, so dass gilt [mm] \bruch{1}{n(n- \bruch{1}{n})} [/mm] = [mm] \bruch{A}{n} [/mm] + [mm] \bruch{B}{n- \bruch{1}{n}} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 1= A(n- [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] +Bn
=An-A [mm] \bruch{1}{n} [/mm] +Bn
= [mm] \underbrace{(A+B)n}_{= n^{1}} [/mm] - [mm] \underbrace{ \bruch{1}{n}A}_{= n^{0}}
[/mm]
Koeffizientenvergleich:
[mm] n^{0}: [/mm] 1= - [mm] \bruch{1}{n}A \Rightarrow [/mm] A= -n
[mm] n^{1}: [/mm] 0= A+B [mm] \Rightarrow [/mm] 0=n+B [mm] \Rightarrow [/mm] B=n
also gilt: [mm] \bruch{1}{n(n- \bruch{1}{n})}= \bruch{-n}{n}+ \bruch{n}{n- \bruch{1}{n}} [/mm] = -1+ [mm] \bruch{n}{n- \bruch{1}{n}} \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
Es gilt:
[mm] \summe_{n=2}^{ \infty} \bruch{1}{n(n- \bruch{1}{n})}= \limes_{k\rightarrow\infty}( \summe_{n=2}^{k} \bruch{1}{n(n- \bruch{1}{n})}) [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}( \summe_{n=2}^{k}(-1+ \bruch{n}{n- \bruch{1}{n}}))= \limes_{k\rightarrow\infty}( \summe_{n=2}^{k}-1+ \summe_{n=2}^{k} \bruch{n}{n- \bruch{1}{n}})
[/mm]
An dieser Stelle soll ich mit dem Indexshift fortfahren, ich weiß nur nicht wie.
Kann mir da jemand helfen???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:11 Mo 28.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sandeu!
> Finde A, B, so dass gilt [mm]\bruch{1}{n(n- \bruch{1}{n})}[/mm] = [mm]\bruch{A}{n}[/mm] + [mm]\bruch{B}{n- \bruch{1}{n}}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Wähle folgende Partialbruchzerlegung:
[mm] $\bruch{1}{n^2-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{(n-1)*(n+1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{n-1} [/mm] + [mm] \bruch{B}{n+1}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:24 Mo 28.11.2005 | | Autor: | Sandeu |
Gut, dann komme ich auf
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}( \summe_{n=2}^{k} \bruch{0,5}{n-1}- \summe_{n=4}^{k+2} \bruch{0,5}{n-1})= \bruch{3}{4}
[/mm]
Ist das so richtig???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:47 Mo 28.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Sandeu!
Das Ergebnis mit [mm] $\bruch{3}{4}$ [/mm] habe ich auch erhalten.
Aber warum so kompliziert mit der Indexverschiebung?
[mm] $\summe_{k=2}^{\infty}\left(\bruch{0.5}{k-1}-\bruch{0.5}{k+1}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\summe_{k=2}^{\infty}\left(\bruch{1}{k-1}-\bruch{1}{k+1}\right)$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(\underbrace{\red{\bruch{1}{1}}-\bruch{1}{3}}_{k=2}\underbrace{ + \red{\bruch{1}{2}}-\bruch{1}{4}}_{k=3}\underbrace{+\bruch{1}{3}-\bruch{1}{5}}_{k=4}\underbrace{+\bruch{1}{4}-\bruch{1}{6}}_{k=5} \pm ...\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(1 + \bruch{1}{2}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{4}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Mo 28.11.2005 | | Autor: | Tequila |
hi
hab mal ne frage zu
[mm] \bruch{1}{2}\cdot{}\left(\underbrace{\red{\bruch{1}{1}}-\bruch{1}{3}}_{k=2}\underbrace{ + \red{\bruch{1}{2}}-\bruch{1}{4}}_{k=3}\underbrace{+\bruch{1}{3}-\bruch{1}{5}}_{k=4}\underbrace{+\bruch{1}{4}-\bruch{1}{6}}_{k=5} \pm ...\right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}\left(1 + \bruch{1}{2}\right) [/mm] = [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
das mit rot markierte wie schätzt du das ab?
bei ner teleskopsumme wüsste ich das da hat man ja [mm] a_{k} [/mm] - [mm] a_{k+1}
[/mm]
dann einfach die grenzen unten und oben einsetzen, wäre in dem fall 2 und unendlich
gibts da ne allgemeine vorgehensweise? ich versteh das nicht wie du das genau abschätzt das du dann schreiben kannst (1 + [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] weil eigentlich hat man ja in dem fall [mm] a_{k-1} [/mm] - [mm] a_{k+1}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 Mo 28.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tequila!
Ich habe mir schlicht und ergreifend die ersten Glieder der Reihe aufgeschrieben und betrachtet, welche Terme sich eliminieren und welche nicht.
Verblieben in dieser Betrachtung sind dann halt $1_$ und [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] ...
Gruß
Loddar
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