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| Aufgabe | Problem: [mm] f:[a,b]\to\IR, \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=?
[/mm]
Sei a = [mm] x_0
[mm] g_i(t)=f(\frac{x_{i+1}-x_i}{2}t+\frac{x_i+x_{i+1}}{2}). [/mm] Dann gilt:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=\sum_{i=0}^{n-1}\frac{x_{i+1}-x_i}{2}*\integral_{-1}^1g_i(t)dt [/mm] |
Moin,
ich müsste Euch hier mal um Hilfe bitten bei der o. a. Darstellung. Wie kann ich mir diese Abbildung von [a, b] auf [-1, 1] vorstellen? Ich bekomme einfach keine Vorstellung davon, was hier passiert.
Wenn jemand eine einfache Idee hat, es vielleicht irgendwie erklären kann, wäre ich für jede Hilfe dankbar!
Adrian
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Nun, die Funktionen [mm] g_i [/mm] sind immer zwischen zwei auf einander folgenden [mm] x_i [/mm] definiert.
Du hast also [mm] x_i [/mm] und [mm] x_{i+1}. [/mm] Dazwischen soll die Funktion [mm] g_i [/mm] mit dem Parameter t genau so laufen, daß gilt: [mm] $g(-1)=f(x_i)$ [/mm] und [mm] $g(+1)=f(x_{i+1})$
[/mm]
Das heißt, du mußt eine Funktion [mm] $t\mapsto x_i$ [/mm] finden, die genau das macht, also für t=-1 muß [mm] x_i [/mm] herauskommen, für t=+1 muß [mm] x_{i+1} [/mm] rauskommen. Für t=0 sollte demnach genau der Mittelpunkt herauskommen, also [mm] \bruch{x_i+x_{i+1}}{2}. [/mm] Dazu kommt noch ein linearer Term, sodaß die anderen Bedingungen auch erfüllt werden.
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Super, jetz hab ichs. Danke für Deine Hilfe!
Adrian
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