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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 So 07.11.2004 | | Autor: | ThomasK |
Also hab die Aufgabe:
(EDIT: Hanno)
$ [mm] \produkt_{k=1}^{n-1} (1+1/k)^k [/mm] = [mm] n^n/n!$
[/mm]
n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 2
und dann noch sollen wir noch gucken ob [mm] \wurzel[k]{n} [/mm] ganzzahlig oder irrational ist.
[mm] \wurzel[k]{n} [/mm] setzt man p/q p,q [mm] \in \IN [/mm]
und jetzt kommt das problem ist soll, man soll zeigen das q=1 ist mit Hilfe der Primfaktorzerlegung?
Hoffe ihr könnt mir mal wieder helfen 
mfg
Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:57 So 07.11.2004 | | Autor: | ThomasK |
hab noch vergessen das die Summe durch das PI ersetzt werden muss.
Hofffe mir kann jemand helfen...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:58 So 07.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Jetzt wo du gesagt hast, dass eigenlitch ein Produkt und keine Summe gmeint ist, lässt sich die Aufgabe recht leicht lösen. Den Induktionsschritt bekommst du selbst hin denke ich. Der Induktionsschritt verläuft dann wie folgt:
[mm] $\produkt_{k=1}^{n}{\left( 1+\frac{1}{k} \right)^k}=\produkt_{k=1}^{n-1}{\left( 1+\frac{1}{k}\right) ^k}\cdot \left( 1+\frac{1}{n}\right) [/mm] ^{n}$
Induktionsschritt:
[mm] $\frac{n^n}{n!}\cdot\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n}=\frac{(n\cdot\left( 1+\frac{1}{n})\right) ^n}{n!}=\frac{(n+1)^n}{n!}=\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}$.
[/mm]
Wo hapert's denn bei der zweiten Aufgabe?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 So 07.11.2004 | | Autor: | ThomasK |
Danke für die Antwort.
Zu 2.
Weil ich nicht weiß wie man sowas rechnet bzw ausschreibt.
Hab sowas noch nie gemacht 
Also ich schreib [mm] \wurzel[k]{n} [/mm] = p/q
so soll ich das jetzt umstellen oder zahlen einsetzen, wobei wenn man eine zahl einsatz, das dann auch für alle zahlen beweißen muss.
Also wenn ich jetzt für p=5 nehme und q soll mit hilfe der Primfaktorzerlegung 1 sein. dann kommt p/q = 5
Damit hab ich doch nix bewiesen oder??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 So 07.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Thomas!
Deine Grundidee ist schon richtig. Es beginnt also mit
[mm] $\sqrt[k]{n}=\frac{p}{q}$
[/mm]
Dabei sind o.B.d.A (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) p und q zwei relativ prime Zahlen (d.h. also, dass der größte gemeinsame Teiler von p und q die 1 ist). Nun potenzierst du mit k und erhälst:
[mm] $n=\frac{p^k}{q^k}$
[/mm]
[mm] $\gdw n\cdot q^k=p^k$.
[/mm]
So, und nun du: wieso widerspricht dieses Gleichung unter der Bedingung, dass q nicht gleich 1 ist, der Tatsache, dass p und q relativ prim sind?
Liebe Grüße und Viel Erfolg,
Hanno
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