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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:35 Do 21.10.2004 | | Autor: | CaFl |
Hallo zusammen,
wir hab von unserm Prof folgende Aufgabe bekommen.
Man Beweise durch vollständige Induktion für n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n} (2k-1)^{3} [/mm] = [mm] n^{2}(2n^{2}-1)
[/mm]
Komme aber nicht so ganz mit dem ^{3} klar. Währe super nett wenn einer was wüste und helfen könnte.
gruß Carsten
Danke für alle bemühungen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:01 Do 21.10.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Ich glaube, da ist dir ein Fehler in der Aufgabenstellung unterlaufen:
> [mm]\summe_{i=1}^{n} (2k-1)^{3}[/mm] = [mm]n^{2}(2n^{2}-1)
[/mm]
Das macht doch nicht viel Sinn, wenn die Summe über i läuft, in der Formel aber gar kein i vorkommt. Wahrscheinlich müsste die Summe über k laufen, oder?
Würde mich auch interessieren, in welchem Semester du diese Aufgabe bekommen hast - Induktion ist in Mathe ganz am Anfang dran, aber so eine Aufgabe hatten wir glaube ich bis heute nicht.
Viele Grüße 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:32 Do 21.10.2004 | | Autor: | CaFl |
ja stimmt es mußnatürlich heißen
[mm] \summe_{k=1}^{n}....
[/mm]
die Summe läuft also über k, aber sonst ändert sich "leider" nichst,
.........................................................................................
Stimmt, bin im ersten Semester "erste Woche" sind also damit gerade angefangen und haben dieses Thema aber auch schon beendet.
mfg Carsten
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:28 Do 21.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Carsten!
$ [mm] \summe_{k=1}^{n} (2k-1)^{3} [/mm] $ = $ [mm] n^{2}(2n^{2}-1) [/mm] $
Dann mal ran an's Werk:
Zuerst schlage ich vor, dass wir die gesamte Klammer unter der Summe ausmultiplizieren. Anders geht es meines Wissens nach nicht, also machen wir das schlicht und ergreifend, verwenden aber (wir wollen uns das Leben schließlich nicht unnötig erschweren) den Binomischen Lehrsatz bzw. das Pascalsche Dreieck. Nach dem nämlich ist [mm] $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$. [/mm]
Folglich gilt also:
[mm] $=\summe_{k=1}^{n}{8k^3-12k^2+6k-1}$
[/mm]
So, und nun bist du wieder dran: schaffst du es, mit Hilfe der Formeln für die Summe von Potenzen
[mm] $\summe_{k=1}^{n}{k}=\frac{n(n+1)}{2}$,
[/mm]
[mm] $\summe_{k=1}^{n}{k^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{4}$
[/mm]
[mm] $\summe_{k=1}^{n}{k^3}=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$
[/mm]
die Behauptung zu beweisen?
Wenn es Probleme gibt, frag einfach nach und ich werde dir weitere Tips geben!
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:58 Fr 22.10.2004 | | Autor: | CaFl |
Danke erst mal,
Hab aber nen anderen Lösungsweg gewählt,
weiß jetzt aber nicht ob der besser oder sogar falsch ist?
1 Induktionsanfang
Annahme n=1
L.S. [mm] \summe_{k=1}^{1} (2k-1)^{3}= (2*1^{2}-1)^{3}=1
[/mm]
R.S. [mm] n^{2}*(2n^{2}-1)=1^{2}*(2*1^{2}-1)=1
[/mm]
L.S.=R.S.
2 Induktionsschluss
[mm] \summe_{k=1}^{n} (2k-1)^{3}=n^{2}*(2n^{2}-1)
[/mm]
Behauptung
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} (2k-1)^{3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \summe_{k=1}^{n} (2k-1)^{3}+(2*(n+1)-1)^{3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow n^{2}*(2n^{2}-1)+(2n+1)^{3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow 2n^{4}+8n^{3}+11n^{2}+6n+1
[/mm]
[mm] \Rightarrow (n+1)^{2}*(2n^{2}+4n+1)
[/mm]
[mm] \Rightarrow (n+1)^{2}*(2(n+1)^{2}-1)
[/mm]
Wie würde den deine möglichkeit der Lösung aussehen?
Danke für die Antwot
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