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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 Mo 25.10.2004 | | Autor: | beauty |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
[mm] summe_{k=1}^{N} k^2= [/mm] n(n+1)(2n+1)/6
Das soll ich beweisen. Ich weiß nur nicht ob ich das richtig gemacht habe und komme beim Induktionsschluss nicht so wirklich weiter.
1.) Induktionsanfang: n=0
[mm] summe_{k=1}^{0} k^2=0=0/6=0
[/mm]
2. Induktionsvorraussetzung
[mm] summe_{k=1}^{N} k^2= [/mm] n(n+1)(2n+1)/6
3. Induktionsschluss
n=n+1
[mm] summe_{k=1}^{N+1} k^2=(summe_{k=1}^{N} k^2)+((n+1)(n+1)+1)(2(n+1)+1)/6
[/mm]
[mm] summe_{k=1}^{N+1} k^2=(summe_{k=1}^{N} k^2)+3n^3+9n^2+13n+5/6
[/mm]
Und was mache ich jetzt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:54 Mo 25.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi
dir scheint die vorgehensweise beim induktionsschritt nicht ganz klar zu sein.
also die induktionsvoraussetzung stimmt. fast jedoch müssen, wenn links nur [m] N [/m] also summationsende vorkommt auch rechts [m] N [/m] stehen, also lautet die induktionsvoraussetzung:
[m] \sum_{k=1}^{N} k^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6} [/m]
im induktionsschritt kannst du dies nun verwenden, denn es gilt ja:
[m] \sum_{k=1}^{N+1} k^2 = \sum_{k=1}^{N} k^2 + (N+1)^2 [/m]
dabei schriebst du einfach nur das $N+1$-te glied gesondert hin. nun weißt du aber nach induktionsvoraussetzung, was für einen wert [m] \sum_{k=1}^{N} k^2 [/m] hat. also gilt mit obiger zeile:
[m] \sum_{k=1}^{N+1} k^2 = \sum_{k=1}^{N} k^2 + (N+1)^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6} + (N+1)^2 [/m]
jetzt musst du dies noch etwas umformen und dann solltetst du auf [m] \frac{(N+1)(N+2)(2N+3)}{6} [/m] kommen, das ist genau der wert aus der indukionsvorausstzung auf der rechten seite, in dem [m] N [/m] durch [m] N + 1 [/m] ersetzt wurde.
probiere das mal, wenn du auf probleme stößt kannst du dich ja nochmal melden.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Mo 25.10.2004 | | Autor: | beauty |
Hey Andreas!
Erst mal Danke, dass du mir weitergeholfen hast. Aber was ich noch nicht verstehe ist, wie ich auf den letzten Schritt komme.
Soll ich das hier N(N+1)(2N+1)/6 +( [mm] N+1)^2
[/mm]
auflösen oder wie komme ich auf (N+1)(N+2)(2N+3)??
Weil wenn ich das dort oben auflöse [mm] 2N^3+4N^2+3N+1 [/mm] raus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:53 Di 26.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Beauty,
> Hey Andreas!
> Erst mal Danke, dass du mir weitergeholfen hast. Aber was
> ich noch nicht verstehe ist, wie ich auf den letzten
> Schritt komme.
> Soll ich das hier N(N+1)(2N+1)/6 +( [mm]N+1)^2
[/mm]
> auflösen oder wie komme ich auf (N+1)(N+2)(2N+3)??
> Weil wenn ich das dort oben auflöse [mm]2N^3+4N^2+3N+1[/mm] raus
Nein, Andreas meint, du sollst zeigen, dass folgende Gleichheit gilt:
[mm] $(\star)$ $\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}+(N+1)^2=\frac{(N+1)(N+2)(2N+3)}{6}$.
[/mm]
Ich biete dir dazu mal drei Möglichkeiten an (die dritte ist die bei diesen Aufgaben am meisten benutzte, obwohl ich sie eigentlich als die komplizierteste (von diesen Möglichkeiten jedenfalls) empfinde; naja, wirklich schwer ist sie aber auch nicht, wenn man diese Denkweise mal gewohnt ist und weiß, nach welchen Ausdrücken man zu suchen hat  ):
1.Möglichkeit:
Äquivalenzumformungen:
[mm] $\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}+(N+1)^2=\frac{(N+1)(N+2)(2N+3)}{6}$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $N(N+1)(2N+1)+6(N+1)^2=(N+1)(N+2)(2N+3)$
[/mm]
[mm] $\stackrel{beachte: N+1 > 0}{\gdw}$
[/mm]
[m]N(2N+1)+6(N+1)=(N+2)(2N+3)_[/m]
[mm] $\gdw$
[/mm]
$2N²+N+6N+6=2N²+4N+3N+6$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$2N²+7N+6=2N²+7N+6$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$0=0_$.
Der Beweis der Richtigkeit von [mm] $(\star)$ [/mm] ergibt sich dann aus obigem, wenn man alles von unten nach oben liest ($0=0_$ ist ja sicher eine wahre Aussage  ) und die [mm] $\Leftarrow$-Zeichen [/mm] der [mm] $\gdw$-Zeichen [/mm] verfolgt.
2.Möglichkeit:
Ausrechnen von
a) [mm] $\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}+(N+1)^2$ [/mm] und
b) [mm] \frac{(N+1)(N+2)(2N+3)}{6}
[/mm]
und anschließendes Vergleichen.
Also zu a):
[m]\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}+(N+1)^2=\frac{(N²+N)(2N+1)+6(N²+2N+1)}{6}
=\frac{2N³+N²+2N²+N+6N²+12N+6}{6}=\frac{2N³+9N²+13N+6}{6}[/m]
Zu b):
[m]\frac{(N+1)(N+2)(2N+3)}{6}=\frac{(N²+3N+2)(2N+3)}{6}
=\frac{2N³+3N²+6N²+9N+4N+6}{6}=\frac{2N³+9N²+13N+6}{6}[/m]
Also liefern a) und b) das gleiche, womit [mm] $(\star)$ [/mm] bewiesen ist.
3.Möglichkeit:
[mm] $\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}+(N+1)^2$ [/mm] so umformen, dass man die rechte Seite von [m](\star)[/m] erhält:
[mm] $\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}+(N+1)^2$
[/mm]
[mm] $=\frac{N(N+1)(2N+1)+6(N+1)(N+1)}{6}$
[/mm]
[mm] $=\frac{(N+1)[N(2N+1)+6(N+1)]}{6}$ [/mm] [ $(N+1)$ vorklammern; günstig, weil auf der rechten Seite von [mm] $(\star)$ [/mm] auch der Faktor $(N+1)$ vorkommt]
[mm] $=\frac{(N+1)[2N²+N+6N+6]}{6}$
[/mm]
[mm] $=\frac{(N+1)[2N²+7N+6]}{6}$ [/mm] [irgendwie $(2N+3)$ ins Spiel bringen, weil es auf der rechten Seite von [mm] $(\star)$ [/mm] als Faktor vorkommt; Hoffnung: dass man durch umformen $(2N+3)$ vorklammern kann]
[mm] $=\frac{(N+1)[(2N+3)N+4N+6]}{6}$ [/mm]
[mm] $=\frac{(N+1)[(2N+3)N+(2N+3)*2]}{6}$ [/mm] [Juchhu: $(2N+3)$ kann man vorklammern ]
[mm] $=\frac{(N+1)[(2N+3)(N+2)]}{6}$
[/mm]
[m]=\frac{(N+1)(N+2)(2N+3)}{6}[/m]
Also: Nun hast du drei Beweise für [mm] $(\star)$, [/mm] die alle sehr ähnlich verlaufen! Das sollte genügen!
Liebe Grüße
Marcel
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