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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:51 Do 09.12.2004 | | Autor: | Skipper |
Hi,
ich steh total unter Zeitdruck und weiß nicht mehr wo mir der Kopf steht, vielleicht könnt ihr mir helfen.
Ich habe folgende Aufgaben zu lösen:
[mm] f(\bruch{1}{n})=2^{\bruch{1}{n}}
[/mm]
(den Induktionsanfang hab ich)
[mm] f(\bruch{n}{m})=2^{\bruch{n}{m}}
[/mm]
Bei folgenden Aufgaben komme ich auch nicht mehr weiter:
1. Es seien [mm] f,g:\IR\to\IR [/mm] stetige Funktionen, so dass für alle Zahlen [mm] q\in\IQ [/mm] gilt: f(q)=g(q). Dann gilt für alle [mm] x\in\IR, [/mm] dass f(x)=g(x).
2. Einen monotone Funktion [mm] f:\IR\to\IR [/mm] bestitz höchstens abzählbar viele Unstetigkeiten.
Ich hoffe ihr könnt helfen.
Vielen dank auf jeden Fall;
Skipper
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:36 Do 09.12.2004 | | Autor: | kuroiya |
also auf die schnelle kann ich dir zum Punkt 1. n Tipp geben:
[mm] \IQ [/mm] liegt dicht in [mm] \IR [/mm] , dadurch folgt das Resultat aufgrund der Stetigkeit der Funktionen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 Fr 10.12.2004 | | Autor: | Gorky |
Hi!
Für Teil 1. Also angenommen es existiert so ein [mm] x_{0} \in \IR [/mm] so dass [mm] f(x_{0}) \not= g(x_{0}). [/mm] Da f,g stetig, so ist auch (f-g) stetig.
für alle [mm] q\in \IQ [/mm] (f-g)(q) = 0 (nach Definition von f)
Nun sei [mm] (f-g)(x_{0}) [/mm] =a wobei a [mm] \not=0
[/mm]
Da zwieschen zwei irrationalen Zahlen stets eine rationale Zahl liegt, liegt [mm] x_{0} [/mm] in [mm] \delta-Umgebung [/mm] von [mm] q^{'} (q^{'}\in \IQ). [/mm] Weil (f-g) stetig ist, muss a also in der [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] von (f-g)( [mm] q^{'}) [/mm] liegen. Es folgt also a=0 sein muss für alle [mm] x_{0}, [/mm] weil wenn [mm] \varepsilon [/mm] < a gilt für alle [mm] \delta [/mm] dass | [mm] f(q^{'})-f(x_{0}) [/mm] | = | 0-q | =a > [mm] \varepsilon [/mm] ist. (f-g) ist also nicht stetig. Hier haben wir wiederspruch! Also es folgt Behauptung.
Für Teil 2. Für Unstetigkeit gilt [mm] \limes_{t\rightarrow\o}f(x+t)\not=\limes_{t\rightarrow\o}f(x-t) [/mm] (dass sollst du vielleicht beweisen, damitdie Aufgebe besser aussieht)
=> | [mm] \limes_{t\rightarrow\o}f(x+t)-\limes_{t\rightarrow\o}f(x-t) [/mm] | > 0
=> nach Archimedes Axiom gilt also
Es existiert n [mm] \in \IN [/mm] so dass | [mm] \limes_{t\rightarrow\o}f(x+t)-\limes_{t\rightarrow\o}f(x-t) [/mm] | > [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
Wenn es unendlich viele Unstetigkeiten in [a,b] gibt und f monotn stetig (ohne Beschrenkung) ist, dann "springt" die Funktion [mm] \infty-mal [/mm] um [mm] \bruch{1}{n} [/mm] nach oben. Es folgt, dass der Funktionswert von b nicht existiert, da er eigentlich [mm] \infty [/mm] sein musste. Da f monoton steigend ist dies ein wiederspruch zur Definition von Funktionen. Es folgt, dass in einem Intervall endlich viele Unstetigkeiten vorkommen können. Also gibt es Bijektion [mm] \IN \to \{x_{0} | f(x_{0}) ist unstetig \}. [/mm] Hoffe das ich hab dir bisschen weitergeholfen.
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