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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:58 So 01.11.2009 | | Autor: | psybrain |
| Aufgabe | Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion:
[mm] \bruch{x^{n+1}-y^{n+1}}{(x - y)} [/mm] = [mm] \summe_{j=0}^{n}x^{j}*y^{n-j}
[/mm]
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Hallo,
Der Induktionsanfang ist korrekt, jedoch habe ich Probleme beim Induktionsschritt.
Wenn [mm] \summe_{j=0}^{n}x^{j}*y^{n-j} [/mm] gilt, dann muss auch [mm] \summe_{j=0}^{n+1}x^{j}*y^{(n+1)-j} [/mm] gelten.
Hierfür ist somit zu zeigen, dass gilt: [mm] \bruch{x^{n+1}-y^{n+1}}{(x - y)} [/mm] + [mm] x^{n+1}*y^{(n+1)-(n+1)} [/mm]
Dies ergibt aber [mm] \bruch{x^{n+1}-y^{n+1}}{(x - y)} [/mm] + [mm] x^{n+1}*y^{0}
[/mm]
, womit man rein optisch nicht auf den Beweis kommt, von dem ich annehme, dass er gilt.
Was habe ich falsche gemacht? Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo
> Hierfür ist somit zu zeigen, dass gilt:
> [mm]\bruch{x^{n+1}-y^{n+1}}{(x - y)}[/mm] + [mm]x^{n+1}*y^{(n+1)-(n+1)}[/mm]
>
> Dies ergibt aber [mm]\bruch{x^{n+1}-y^{n+1}}{(x - y)}[/mm] +
> [mm]x^{n+1}*y^{0}[/mm]
> , womit man rein optisch nicht auf den Beweis kommt, von
> dem ich annehme, dass er gilt.
> Was habe ich falsche gemacht? Danke!
>
Ich habe den Beweis noch nicht durchgespielt, aber ich glaube, der Fehler liegt hier:
[mm]\bruch{x^{n+1}-y^{n+1}}{(x - y)}[/mm] + [mm]x^{n+1}*y^{(n+1)-(n+1)}[/mm]
Das einzige das sich beim y ändert ist der Index j, das n bleibt! (Wenn ich das richtig sehe.. ^^)
Somit kommt dazu [mm] +x^{n+1}*y^{n-(n+1)}
[/mm]
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Vielleicht kommst du jetzt auf die Lösung.. :)
Grüsse, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:35 So 01.11.2009 | | Autor: | psybrain |
Hallo! Danke für die schnelle Antwort, jedoch bekomme ich jetzt folgendes, falsches Ergebnis:
[mm] \bruch{x^{n+2}-y^{n+2}}{(x - y)*y} [/mm]
Da stört noch der y-Faktor...
Sonst noch Ideen? Danke!
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> Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion:
>
> [mm]\bruch{x^{n+1}-y^{n+1}}{(x - y)}[/mm] =
> [mm]\summe_{j=0}^{n}x^{j}*y^{n-j}[/mm]
>
> Hallo,
>
> Der Induktionsanfang ist korrekt, jedoch habe ich Probleme
> beim Induktionsschritt.
>
> Wenn [mm]\summe_{j=0}^{n}x^{j}*y^{n-j}[/mm]
[mm] =\bruch{x^{n+1}-y^{n+1}}{(x - y)}
[/mm]
> gilt, dann muss auch
> [mm]\summe_{j=0}^{n+1}x^{j}*y^{(n+1)-j}[/mm]
[mm] \bruch{x^{n+2}-y^{n+2}}{(x - y)}
[/mm]
> gelten.
>
> Hierfür ist somit zu zeigen, dass gilt:
> [mm]\bruch{x^{n+1}-y^{n+1}}{(x - y)}[/mm] + [mm]x^{n+1}*y^{(n+1)-(n+1)}[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Immer fein langsam mit den jungen Pferden!
Bedächtigkeit zahlt sich hier aus, und wenn man etwas mehr schreibt, ist man oft schneller am Ziel:
[mm] \summe_{j=0}^{n+1}x^{j}*y^{(n+1)-j}=\red{\summe_{j=0}^{n}x^{j}*y^{(n+1)-j}}+x^{n+1}*y^{(n+1)-(n+1)}
[/mm]
Wir sind hiermit nah an Deinem Fehler. das Rote ist nämlich nicht Deine Induktionsannahme!
[mm] =\red{y*}\summe_{j=0}^{n}x^{j}*y^{n-j}+x^{n+1}*y^{(n+1)-(n+1)}
[/mm]
= und jetzt weiter.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:46 Mo 02.11.2009 | | Autor: | psybrain |
Herrlich - gelöst und verstanden! Dankesehr!
Dieses Glücksgefühl verleitet mich dazu, diesen Ort beim nächsten Problem wieder aufzusuchen ;)
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