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Hallo zusammen!
Ich habe mich gerade nochmal an einen Induktionsbeweis herangewagt, muss aber feststellen, dass der nicht so einfach ist wie ich dachte und ich nun feststecke.
z.z [mm] (\bruch{n}{e})^n \le [/mm] n! für n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 1
I.A. Die Beh. gilt für n=1, denn
... [mm] \gdw \bruch{1}{e} \le [/mm] 1
I.V. Die Beh. gelte für ein n [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1
I.S. n -> n+1 z.z. [mm] (\bruch{n+1}{e})^{n+1} \le [/mm] (n+1)!
[mm] (\bruch{n+1}{e})^{n+1} [/mm] = [mm] (\bruch{n+1}{e})^n [/mm] * [mm] (\bruch{n+1}{e}) [/mm] = [mm] (\bruch{n}{e} [/mm] + [mm] \bruch{1}{e})^n [/mm] * [mm] (\bruch{n+1}{e})
[/mm]
Wie kann ich hier die erste Klammer weiter umformen, damit ich dann ja die I.V. anwenden kann? das + [mm] \bruch{1}{e} [/mm] stört dort ja...
Grüße und schonmal vielen Dank!
Isabelle
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Isabelle90,
> Hallo zusammen!
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> Ich habe mich gerade nochmal an einen Induktionsbeweis
> herangewagt, muss aber feststellen, dass der nicht so
> einfach ist wie ich dachte und ich nun feststecke.
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> z.z [mm](\bruch{n}{e})^n \le[/mm] n! für n [mm]\in \IN[/mm] mit n [mm]\ge[/mm] 1
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> I.A. Die Beh. gilt für n=1, denn
> ... [mm]\gdw \bruch{1}{e} \le[/mm] 1
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> I.V. Die Beh. gelte für ein n [mm]\in \IN,[/mm] n [mm]\ge[/mm] 1
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> I.S. n -> n+1 z.z. [mm](\bruch{n+1}{e})^{n+1} \le[/mm] (n+1)!
> [mm](\bruch{n+1}{e})^{n+1}[/mm] = [mm](\bruch{n+1}{e})^n[/mm] *
> [mm](\bruch{n+1}{e})[/mm] = [mm](\bruch{n}{e}[/mm] + [mm]\bruch{1}{e})^n[/mm] * [mm](\bruch{n+1}{e})[/mm]
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> Wie kann ich hier die erste Klammer weiter umformen, damit
> ich dann ja die I.V. anwenden kann? das + [mm]\bruch{1}{e}[/mm]
> stört dort ja...
Ich würde die Klammer lassen und stattdessen mit [mm]\left(\frac{n}{e}\right)^n\cdot{}\left(\frac{e}{n}\right)^n=1[/mm] multiplizieren, also
[mm]\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n+1}=\left(\frac{n+1}{e}\right)^n\cdot{\left(\frac{n+1}{e}\right)=\red{\left(\frac{n}{e}\right)^n\cdot{}\left(\frac{e}{n}\right)^n}\cdot{}\left(\frac{n+1}{e}\right)^n\cdot{\left(\frac{n+1}{e}\right)[/mm]
[mm]=\left(\frac{n}{e}\right)^n\cdot{}\left(\frac{n+1}{n}\right)^n\cdot{}\left(\frac{n+1}{e}\right)[/mm]
Nun kannst du den ersten Faktor gem. IV abschätzen, den mittleren kannst du als [mm]\left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/mm] schreiben.
Dann weißt du sicher, dass die Folge [mm]\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right\}_{n=1}^{\infty}[/mm] monoton steigend gegen [mm]e[/mm] konvergiert.
Wie kannst du den mittleren Faktor also abschätzen? ...
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> Grüße und schonmal vielen Dank!
> Isabelle
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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Zunächst einmal vielen Dank!
Die Erweiterung ist echt schlau :)
Kann ich den mittleren Faktor jetzt nicht einfach als e abschätzen und somit ergäbe sich dann ja auch nach einsetzen der I.V.
[mm] \le [/mm] n! * (1 + [mm] \bruch{1}{n})^n [/mm] * [mm] (\bruch{n+1}{e}) [/mm] = n! * (n+1) = (n+1)!
was ja zu zeigen war!
Ist das so korrekt?
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Hallo nochmal,
> Zunächst einmal vielen Dank!
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> Die Erweiterung ist echt schlau :)
>
> Kann ich den mittleren Faktor jetzt nicht einfach als e
> abschätzen ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") und somit ergäbe sich dann ja auch nach
> einsetzen der I.V.
> [mm]\le[/mm] n! * (1 + [mm]\bruch{1}{n})^n[/mm] * [mm](\bruch{n+1}{e})[/mm] = n! * (n+1) = (n+1)!
> was ja zu zeigen war!
> Ist das so korrekt?
Ja, ganz recht so!
Nur (bei der Abgabe) die Abschätzung schön begründen wie oben 
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:59 Fr 03.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Isabelle!
Wie schachuzipus schon angedeutet hat, würde ich auch noch einen Zwischenschritt einfügen mit:
$... \ [mm] \le [/mm] \ [mm] n!*\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n*\bruch{n+1}{e} [/mm] \ [mm] \blue{\le \ n!*e*\bruch{n+1}{e}} [/mm] \ = \ n!*(n+1) \ = \ (n+1)!$
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:07 Fr 03.12.2010 | | Autor: | Isabelle90 |
Ich danke euch vielmals! Ich hätte nie gedacht, dass die Aufgabe nicht komplizierter ist... Aber so kann man sich täuschen :)
In meiner Rechnung auf meinem Blatt Papier habe ich selbstverständlich den Zwischenschritt dabei :)
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