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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:29 So 13.02.2011 | | Autor: | Totti89 |
| Aufgabe | Man beweise durch Induktion, dass
[mm] A^n=\pmat{ 5^{n-1} & 2*5^{n-1} \\ 2*5^{n-1} & 4*5^{n-1} } n\in\IN [/mm] |
Hallo zusammen, bin nicht so sicher ob mein Ansatz richtig ist..
Induktionsanfang:
n=1
[mm] A^1=\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 4 }
[/mm]
Induktionsvoraussetzung:
[mm] A^n=\pmat{ 5^{n-1} & 2*5^{n-1} \\ 2*5^{n-1} & 4*5^{n-1} }
[/mm]
Induktionsschluss:
[mm] n\to [/mm] n+1
[mm] A^{n+1}=\pmat{ 5^{n} & 2*5^{n} \\ 2*5^{n} & 4*5^{n} }
[/mm]
[mm] A^n*A^1=\pmat{ 5^{n-1} & 2*5^{n-1} \\ 2*5^{n-1} & 4*5^{n-1} } [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 4 }
[/mm]
[mm] =\pmat{ 25^{n-1} & 50^{n-1} \\ 50^{n-1} & 100^{n-1} }
[/mm]
[mm] =\pmat{ 5^{n}*5^{-1} & 2*5^{n}*5^{-1} \\ 2*5^{n}*5^{-1} & 4*5^{n}*5^{-1} }
[/mm]
[mm] \Rightarrow A^{n+1}=\pmat{ 5^{n-1} & 2*5^{n-1} \\ 2*5^{n-1} & 4*5^{n-1} }
[/mm]
Habe ich da jetzt irgendwo einen Fehler gemacht, weil mir das Ergebnis ein bisschen komisch vorkommt..
Wie kann [mm] A^n [/mm] das gleiche wie [mm] A^{n+1} [/mm] *oder habe ich da einen Verständnisfehler?*
Ich glaube es ist ein Verständnisfehler, weil ich ja genau das beweisen wollte, dass genau das gleiche bei n+1 herauskommt wie bei n oder liege ich da falsch?
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Hallo,
> Man beweise durch Induktion, dass
> [mm]A^n=\pmat{ 5^{n-1} & 2*5^{n-1} \\ 2*5^{n-1} & 4*5^{n-1} } n\in\IN[/mm]
>
> Hallo zusammen, bin nicht so sicher ob mein Ansatz richtig
> ist..
>
> Induktionsanfang:
> n=1
> [mm]A^1=\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 4 }[/mm]
Das gehört noch mit in die Aufgabenstellung
>
> Induktionsvoraussetzung:
> [mm]A^n=\pmat{ 5^{n-1} & 2*5^{n-1} \\ 2*5^{n-1} & 4*5^{n-1} }[/mm]
>
> Induktionsschluss:
> [mm]n\to[/mm] n+1
> [mm]A^{n+1}=\pmat{ 5^{n} & 2*5^{n} \\ 2*5^{n} & 4*5^{n} }[/mm] Das ist zu zeigen.
>
> [mm]A^n*A^1=\pmat{ 5^{n-1} & 2*5^{n-1} \\ 2*5^{n-1} & 4*5^{n-1} }[/mm]
> * [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 4 }[/mm]
>
> [mm]=\pmat{ 25^{n-1} & 50^{n-1} \\ 50^{n-1} & 100^{n-1} }[/mm]
Dieser Schritt stimmt nicht:
$ [mm] \pmat{ 5^{n-1} & 2\cdot{}5^{n-1} \\ 2\cdot{}5^{n-1} & 4\cdot{}5^{n-1} } [/mm] $ * $ [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 4 }= \pmat{ 5\cdot5^{n-1} & 10\cdot 5^{n-1} \\ 10\cdot5^{n-1} & 20\cdot5^{n-1} }$
[/mm]
Dein wesentlicher Fehler liegt darin, dass du die Faktoren komplett in die Basis des Exp-Ausdrucks reingezogen hast.
Gruß
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