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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:09 So 29.04.2007 | | Autor: | Gero |
| Aufgabe | z.z.: mit Indunktion:
[mm] \summe_{i=1}^{n} P[A_i] [/mm] - [mm] \summe_{i \not= j} P[A_i \cap A_j] \le P[\bigcup_{i=1}^n A_i] \le \summe_{i=1}^n P[A_i] [/mm] - [mm] \summe_{i=1}^{n-1} P[A_i \cap A_{i+1}] [/mm] |
Hallo an alle,
ich kämpfe mich hier grad durch, aber irgendwie klappt das nicht so, wie ich will. Ich fang mal mit der 2. Ungleichung an. n=1 ist ja immer klar. Also:
[mm] P[\bigcup_{i=1}^{n+1} A_i] [/mm] = [mm] P[\bigcup_{i=1}^{n} A_i \cup A_{n+1}] [/mm] = [mm] P[\bigcup_{i=1}^{n} A_i] [/mm] + [mm] P[A_{n+1}] [/mm] - [mm] P[\bigcup_{i=1}^{n} A_i \cap A_{n+1}] [/mm]
[mm] \le \summe_{i=1}^n P[A_i] [/mm] + [mm] P[A_{n+1}] [/mm] - [mm] P[(A_1 \cap A_{n+1}) \cup [/mm] ... [mm] \cup (A_n \cap A_{n+1}] [/mm] mit Subadditivität
[mm] \le \summe_{i=1}^n P[A_i] [/mm] - [mm] \summe_{i=1}^{n-1} P[A_i \cap A_{i+1}] [/mm] nochmals Subadditivität.
Nun zur 1. Ungleichnung:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} P[A_i] [/mm] - [mm] \summe_{i \not= j} P[A_i \cap A_j] [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} P[A_i] [/mm] + [mm] P[A_{n+1}] [/mm] - [mm] \summe_{i \not= j} P[A_i \cap A_j] [/mm] + [mm] \summe_{j=1}^n P[A_j \cap A_{n+1}]
[/mm]
[mm] \le P[\bigcup_{i=1}^n A_i] [/mm] + [mm] P[A_{n+1}] [/mm] - [mm] \summe_{j=1}^n P[A_j \cap A_{n+1}]
[/mm]
Naja, nun komm ich nimmer weiter. Allgemein kommt mir das ganze ein wenig abenteuerlich vor. Kann mir vielleicht jemand helfen? Wäre nett!
Grüßle
Gero
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Do 03.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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