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| Aufgabe | | man zeige für welche n Element von N gilt: [mm] (n/3)^n |
Habe rausgefunden, dass die Ungleichung ab n=6 gilt. Kann mir jemand sagen wie nun die vollständige Induktion funkioniert? Ich weiß zwar wie sie grundsätzlich geht aber kann das ganze hier nicht anwenden.
Habe folgenden Ansatz:
[mm] ((n/3)^n)\*(n/3)
das erscheint mir aber irgendwie falsch!
kann mir bitte jemand helfen?
Danke schon mal!
LG
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=399119
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> man zeige für welche n Element von N gilt:
> [mm](n/3)^n
> Habe rausgefunden, dass die Ungleichung ab n=6 gilt. Kann
> mir jemand sagen wie nun die vollständige Induktion
> funkioniert? Ich weiß zwar wie sie grundsätzlich geht
> aber kann das ganze hier nicht anwenden.
> Habe folgenden Ansatz:
>
> [mm]((n/3)^n)\*(n/3)
>
> das erscheint mir aber irgendwie falsch!
du müsstest an allen Stellen, wo n steht, das
n durch (n+1) ersetzen !
Hallo Magdalena,
es ist wahrscheinlich sinnvoll, den Beweis in zwei
Teilen zu führen: einen für jede der beiden Un-
gleichungen.
Nehmen wir mal die erste:
[mm] $\left(\frac{n}{3}\right)^n\,<\ n\,!$
[/mm]
Die ist ja offenbar schon ab n=1 erfüllt, also
kann die Verankerung da erfolgen:
[mm] $\left(\frac{1}{3}\right)^1\,<\ 1\,!$ [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Für den Induktionsschritt wäre zu zeigen:
[mm] $\left(\frac{n}{3}\right)^n\,<\ n\,!\quad\Rightarrow\quad\left(\frac{n+1}{3}\right)^{n+1}\,<\ (n+1)\,!$
[/mm]
Nun kann man natürlich auf der rechten Seite des
Implikationspfeils Faktoren abspalten und muss
dann versuchen, durch geeignete Abschätzungen
zur gewünschten Ungleichung zu kommen.
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:04 Sa 24.10.2009 | | Autor: | Magdalena1 |
ist das so richtig?
[mm] (((n+1)/3)^n)((n+1)/3)
ich weiß aber nicht weiter!
Danke für die Hilfe!
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Guten Abend Magdalena,
> man zeige für welche n Element von N gilt:
> [mm](n/3)^n
> Habe rausgefunden, dass die Ungleichung ab n=6 gilt.
> Kann mir jemand sagen wie nun die vollständige Induktion
> funktioniert? Ich weiß zwar wie sie grundsätzlich geht
> aber kann das ganze hier nicht anwenden.
> $ [mm] (((n+1)/3)^n)((n+1)/3)
> ist das so richtig?
Gut, das ist mal die Faktorisierung.
Tipp: einen Bruch schreibt man als [mm] $\backslash frac\{Zaehler\}\{Nenner\}$
[/mm]
> ich weiß aber nicht weiter!
> Danke für die Hilfe!
$ [mm] \left(\frac{n+1}{3}\right)^{n}*\left(\frac{n+1}{3}\right)\,<\ \underbrace{n\,!}_{\red{>\left(\frac{n}{3}\right)^n}}*(n+1)$
[/mm]
Nun kann man die Induktionsvoraussetzung benützen.
Es genügt also zu zeigen, dass:
$ [mm] \left(\frac{n+1}{3}\right)^{n}*\left(\frac{n+1}{3}\right)\,<\ \left(\frac{n}{3}\right)^n*(n+1)$
[/mm]
Multiplikation mit [mm] 3^{n+1} [/mm] lässt uns die Brüche
loswerden:
$\ [mm] (n+1)^{n}*(n+1)\,<\ 3*n^n*(n+1)$
[/mm]
Ich lass dich da weiter machen.
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:18 Sa 24.10.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Hier kannst du doch die Induktionsvoraussetzung nicht einfach verwenden, oder?
Wenn du n! durch [mm] (\bruch{n}{3})^n [/mm] ersetzt, wird die rechte kleiner als davor und eventuell sogar kleiner als die linke.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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> Hi!
>
> Hier kannst du doch die Induktionsvoraussetzung nicht
> einfach verwenden, oder?
Doch.
> Wenn du n! durch [mm](\bruch{n}{3})^n[/mm] ersetzt, wird die rechte
> kleiner als davor und eventuell sogar kleiner als die
> linke.
>
> Teufel
Beachte, dass die Schlusskette nachher von
unten nach oben funktionieren muss !
Der Deutlichkeit zuliebe kann man den Beweis,
wenn man einmal den Weg gefunden hat, auch
so aufschreiben, dass man von Bekanntem
ausgeht und dann zeigt, dass daraus die zu
zeigende Ungleichung folgt.
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:01 So 25.10.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Oh, klar.
Ich bin immer direkt von Äquivalenzpfeilen dazwischen ausgegangen, daher meine Verwirrung.
Aber wenn man das dann von hinten aufrollt ergibt das Sinn, danke!
Teufel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:31 So 25.10.2009 | | Autor: | Magdalena1 |
@Al
Ich danke(erstmal ) für die Hilfe. Das Einsetzten der Induktionsvoraussetzung hatte mich auch verwirrt aber nun ist es klar!
Ich versuche mich jetzt weiter an der Aufgabe. Danke!
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