Induktion der Ungleichungen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:49 Mi 21.11.2007 | | Autor: | U-Gen |
| Aufgabe | Sei y eine reelle Zahl mit 0 < y < 1. Beweisen Sie durch Induktion über n die folgenden Ungleichungen:
(1) (1 - [mm] y)^{n} \leq \frac{1}{1 + ny} [/mm]
(2) [mm] \sum_{k=-n}^n~y^k \geq [/mm] 2n +1 |
Ich find hier nichtmal einen Anfgang !
Ist der IA bei 0,1 oder wo fängt der an ?!
Freu mich über jede Hilfe
MFG
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Hallo U-Gen!
Das ist hier wohl egal, ob Du den Induktionsanfang mit $n \ = \ 0$ oder $n \ = \ 1$ durchführst.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Mi 21.11.2007 | | Autor: | U-Gen |
(1 - $ [mm] y)^{n} \leq \frac{1}{1 + ny} [/mm] $
IA : n = 1
(1 - [mm] y)^{0} \leq \frac{1}{1 + 0*y} [/mm]
1 [mm] \leq [/mm] 1
IS : n - > n + 1
(1 - [mm] y)^{n+1} \leq \frac{1}{1 + (n + 1)*y} [/mm]
(1 - [mm] y)^{n} [/mm] * (1 - y) [mm] \leq \frac{1}{1 + ny + y} [/mm]
(1 - [mm] y)^{n} [/mm] * (1 - y) [mm] \leq \frac{1}{1 + ny} [/mm] * (1 - y) [mm] \leq \frac{1}{1 + ny + y} [/mm]
wie mach ich denn jetzt weiter ?!
hab die n mit den y verwechselt deshalb dachte ich dass das n=0.1 is ... sry
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> (1 - [mm]y)^{n} \leq \frac{1}{1 + ny}[/mm]
>
> IA : n = 1
>
> (1 - [mm]y)^{0} \leq \frac{1}{1 + 0*y}[/mm]
>
> 1 [mm]\leq[/mm] 1
>
>
> IS : n - > n + 1
>
> (1 - [mm]y)^{n+1} \leq \frac{1}{1 + (n + 1)*y}[/mm]
Hallo,
das ist das, was im Induktionsschluß zu zeigen ist.
Fürs weitere Vorgehen:
Beginne nun mit (1 [mm] -y)^{n+1} [/mm] und erstelle eine Ungleichungskette, an deren Ende (!!!) dann [mm] \frac{1}{1 + (n + 1)*y}
[/mm]
steht.
Also:
(1 [mm] -y)^{n+1} [/mm] =(1 - $ [mm] y)^{n} [/mm] $ * (1 - y) $ [mm] \leq \frac{1}{1 + ny} [/mm] $ * (1 - y) (nach Ind.vor) =...
Nun mußt Du weiter abschätzen. Ich habe auf meiner Schmierzettelrechnung mal mit [mm] \frac{1}{1 + (n + 1)*y} [/mm] erweitert, das hat mich weitergebracht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Do 22.11.2007 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | | (2) [mm] \summe_{k=-n}^{n} y^k \ge [/mm] 2n + 1 |
Wie geht man denn hier vor? Die geometrische Reihe springt einem zwar direkt ins Auge, aber das hilft einem ja bei der Induktion nicht weiter.
n=0: 1 [mm] \ge [/mm] 1 [mm] \checkmark
[/mm]
n=1: [mm] \bruch{1}{y} [/mm] + 1 + y [mm] (.?.)\ge(.?.) [/mm] 3
Hier habe ich schon ein Problem, diese Ungleichung zu zeigen. Der Kniff liegt ja in [mm] \bruch{1}{y}+y \ge [/mm] 2
Nur, wie zeigt man das?
Vom Induktionsschritt will ich hier noch gar nicht sprechen...
Ich danke im Voraus :)
P.S.: Mir ist grade aufgefallen, dass ich mit dieser Ungleichung auch relativ einfach den Induktionsschritt fertig bekomme:
n [mm] \to [/mm] n+1:
[mm] \summe_{-(n+1^)}^{n+1} y^k [/mm] = [mm] \bruch{1}{y^{n+1}} [/mm] + [mm] y^{k+1} [/mm] + [mm] \summe_{k=-n}^n y^k \ge \bruch{1}{y^{n+1}} [/mm] + [mm] y^{k+1} [/mm] + 2n + 1 [mm] *\ge* [/mm] 2n + 3 = 2(n+1)+1
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Do 22.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> (2) [mm]\summe_{k=-n}^{n} y^k \ge[/mm] 2n + 1
> Wie geht man denn hier vor? Die geometrische Reihe springt
> einem zwar direkt ins Auge, aber das hilft einem ja bei der
> Induktion nicht weiter.
>
> n=0: 1 [mm]\ge[/mm] 1 [mm]\checkmark[/mm]
>
> n=1: [mm]\bruch{1}{y}[/mm] + 1 + y [mm](.?.)\ge(.?.)[/mm] 3
>
> Hier habe ich schon ein Problem, diese Ungleichung zu
> zeigen. Der Kniff liegt ja in [mm]\bruch{1}{y}+y \ge[/mm] 2
> Nur, wie zeigt man das?
Zieh mal auf beiden Seiten die 2 ab und nimm mit y mal. Das darfst du, da [mm]0
> P.S.: Mir ist grade aufgefallen, dass ich mit dieser
> Ungleichung auch relativ einfach den Induktionsschritt
> fertig bekomme:
>
> n [mm]\to[/mm] n+1:
>
> [mm]\summe_{-(n+1^)}^{n+1} y^k[/mm] = [mm]\bruch{1}{y^{n+1}} + y^{k+1} + \summe_{k=-n}^n y^k \ge \bruch{1}{y^{n+1}}+y^{k+1} + 2n + 1 *\ge* 2n + 3 = 2(n+1)+1 [/mm]
Ja, bis auf die Tatsache, dass du [mm]y^{k+1}[/mm] statt [mm]y^{n+1}[/mm] geschrieben hast.
Viele Grüße
Rainer
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