Induktion mit 2 Variablen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie per Induktion dass für die Fibonacci-Folge (...) folgendes gilt:
[mm] \forall [/mm] m,n [mm] \in \IN: a_{m+n} [/mm] = [mm] a_{n-1}*a_{m}+a_{n}*a_{m+1} [/mm] |
Ok, mein Problem ist, dass ich da ja eigentlich Induktion über 2 Variablen machen muss - ich das aber nur mit einer Variable kann.
Jetzt hab ich gehört dass man einfach annehmen soll, dass eine Variable (hier m) beliebig, aber eben fest gewählt ist, und dann einfach Induktion über n machen.
Lustigerweise klappt das auch; hier der Induktionsschritt:
[mm] a_{m+n+1} [/mm]
= [mm] a_{m+n}+a_{m+n-1} [/mm]
= [mm] a_{n-1}*a_{m}+a_{n}*a_{m+1} [/mm] + [mm] a_{n-2}*a_{m}+a_{n-1}*a_{m+1} [/mm]
= [mm] a_{n-1}*a_{m} [/mm] + [mm] a_{n-2}*a_{m} [/mm] + [mm] a_{n}*a_{m+1} [/mm] + [mm] a_{n-1}*a_{m+1} [/mm] (nur umgestellt)
= [mm] a_{n}*a_{m} [/mm] + [mm] a_{n+1}*a_{m+1}
[/mm]
Jetzt aber die Frage: Warum klappt das? Warum kann ich eine von beiden Variablen festsetzen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 Di 03.11.2009 | | Autor: | statler |
Hi! Und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Jetzt aber die Frage: Warum klappt das? Warum kann ich eine
> von beiden Variablen festsetzen?
Du hast jetzt gezeigt, daß es bei festem (aber beliebigem) m für alle n gilt. Das heißt aber doch, daß es für alle Kombinationen von m und n gilt.
(Du weißt jetzt, daß es für m = 37 und n = 52 gilt, weil es auch für m = 37 sogar für alle n gilt.)
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Do 03.12.2009 | | Autor: | Harty |
Hi!
Ich verstehe deinen zweiten Schritt nicht:
= $ [mm] a_{m+n}+a_{m+n-1} [/mm] $
= $ [mm] a_{n-1}\cdot{}a_{m}+a_{n}\cdot{}a_{m+1} [/mm] $ + $ [mm] a_{n-2}\cdot{}a_{m}+a_{n-1}\cdot{}a_{m+1} [/mm] $
Wie kommt man denn darauf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 Do 03.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Harty,
!!
Hier wurde jeweils die Vorausstzung bzw. die zu zeigende Behauptung als Induktionsvoraussetzung eingesetzt.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Do 03.12.2009 | | Autor: | Harty |
Ok, jetzt hab ich gesehen wie es gemacht wurde, aber man kann doch nicht einfach die zu zeigende Behauptung mit als Vorraussetzung nehmen...
Oder steh ich aufm Schlauch!? Ich fürchte ja...
Aber danke für die Amtwort!
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:05 Fr 04.12.2009 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Ok, jetzt hab ich gesehen wie es gemacht wurde, aber man
> kann doch nicht einfach die zu zeigende Behauptung mit als
> Vorraussetzung nehmen...
Es kommt auf den Begleittext an. Die zu zeigende Beh. ist, daß etwas für alle n gilt. Die Voraussetzung (mit einem r) ist, daß sie für irgend ein beliebiges n gelten möge.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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