Induktion mit Part Integration < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass
[mm] \integral_{0}^{1} x^m(1-x)^n [/mm] = [mm] \bruch{n!m!}{(m+n+1)!}
[/mm]
für alle n,m [mm] \in \IN \cup\{0\} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also mein Ansatz ist das Exemplarisch zu zeigen für die varianten
[mm] \integral_{0}^{1} x^m(1-x)^n [/mm]
[mm] \integral_{0}^{1} x^{m+1}(1-x)^n [/mm]
[mm] \integral_{0}^{1} x^m(1-x)^{n+1}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1} [/mm] x^(m+1) (1-x)^(n+1)
sodass ich dann folgenden Schluss ziehen kann:
n [mm] \Rightarrow [/mm] n+1
[mm] \integral_{0}^{1} x^m(1-x)^{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{m+1} \integral_{0}^{1}x^{m+1}(1-x)^n [/mm] = [mm] \bruch{m!(n+1)!}{(m+n+2)!}
[/mm]
und um den Schritt ( 2. Gleichheitszeichen) zu rechtfertigen meine ich das gleiche Spiel nochmal für
m [mm] \Rightarrow [/mm] m+1 machen zu müssen, liege ich da richtig? denn ich habe meine Bedenken was die Schlüssigkeit der argumentation angeht und weiß nicht ob ich das formal korrekt aufs papier bekomme, ich wäre dankbar für eure Hilfe
mfg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:49 Do 15.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zeigen Sie, dass
> [mm]\integral_{0}^{1} x^m(1-x)^n[/mm] = [mm]\bruch{n!m!}{(m+n+1)!}[/mm]
>
> für alle n,m [mm]\in \IN \cup\{0\}[/mm]
> Ich habe diese Frage in
> keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
>
> Also mein Ansatz ist das Exemplarisch zu zeigen für die
> varianten
>
> [mm]\integral_{0}^{1} x^m(1-x)^n[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{1} x^{m+1}(1-x)^n[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{1} x^m(1-x)^{n+1}[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{1}[/mm] x^(m+1) (1-x)^(n+1)
>
> sodass ich dann folgenden Schluss ziehen kann:
>
> n [mm]\Rightarrow[/mm] n+1
> [mm]\integral_{0}^{1} x^m(1-x)^{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{n+1}{m+1} \integral_{0}^{1}x^{m+1}(1-x)^n[/mm]
> = [mm]\bruch{m!(n+1)!}{(m+n+2)!}[/mm]
>
> und um den Schritt ( 2. Gleichheitszeichen) zu
> rechtfertigen meine ich das gleiche Spiel nochmal für
> m [mm]\Rightarrow[/mm] m+1 machen zu müssen, liege ich da richtig?
> denn ich habe meine Bedenken was die Schlüssigkeit der
> argumentation angeht und weiß nicht ob ich das formal
> korrekt aufs papier bekomme, ich wäre dankbar für eure
> Hilfe
Du kannst das iterativ machen, wie du vorschlägst.
Bei dieser Aufgabe bietet sich die vollständige Induktion an. Verwirrend ist nur, dass man zwei Indizes n,m hat statt nur einem. Wenn du für beliebiges, aber festes n eine vollständige Induktion über m machen kannst, hast du die Aussage ja gezeigt.
Also fang stur nach Vorschrift an: Sei [mm] $n\in \IN$ [/mm] beliebig. Zeige zunächst, dass die Behauptung für m=0 gilt.
Dann machst du den Induktionsschritt. Du hast ja schon die partielle Integration ausgeführt:
[mm] \bruch{n+1}{m+1} \integral_{0}^{1}x^{m+1}(1-x)^n dx= \integral_{0}^{1} x^m(1-x)^{n+1}dx [/mm]
Hier bist du noch nicht fertig, denn der Exponent von $(1-x)$ ist $n+1$. Deine Induktion geht aber nur für den Exponenten n. Also formst du um:
[mm] \integral_{0}^{1} x^m(1-x)^{n+1} dx = \integral_{0}^{1} x^m(1-x)(1-x)^{n} dx = \integral_{0}^{1} (x^m -x^{m+1}) (1-x)^n dx = \integral_{0}^{1}x^m (1-x)^n dx - \integral_{0}^{1}x^{m+1} (1-x)^n dx [/mm]
Das letzte Integral ist aber das aus der ersten Gleichung, also ist
[mm] \left(\bruch{n+1}{m+1}+1\right) \integral_{0}^{1}x^{m+1}(1-x)^n dx = \integral_{0}^{1}x^m (1-x)^n dx [/mm]
oder
[mm] \integral_{0}^{1}x^{m+1}(1-x)^n dx = \bruch{m+1}{n+m+2} \integral_{0}^{1}x^m (1-x)^n dx [/mm]
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
