Induktion mit Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:04 Sa 26.11.2011 | | Autor: | Pauli85 |
| Aufgabe | Vollständige Induktion für:
[mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN: \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i^{2}} \le [/mm] 2 - [mm] \bruch{1}{n} [/mm] |
Hallo,
ich will die vollständige Induktion der Aufgabe oben durchführen. Nur habe ich grade das Problem, dass ich nicht so recht weiß, wie ich mit dem [mm] "\le" [/mm] umgehen soll. Desweiteren steht auf der linken Seite ja auch ein Summenzeichen, weswegen ich nur rechts Umformen kann, oder? Wie kann ich aber die rechte Seite umformen, um zu sehen, dass sie größer oder gleich der linken ist, wenn dort theoretisch eine unendliche Summandenfolge steht?
Wäre für jeden Tipp dankbar,
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 Sa 26.11.2011 | | Autor: | fab42 |
Du kannst hier den letzten summanden von [mm] \summe_{i=1}^{n+1}\bruch{1}{i^{2}} [/mm] herrausziehen und dann die Induktionsvorraussetzung anwenden.
[mm] \summe_{i=1}^{n+1}\bruch{1}{i^{2}}=\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i^{2}}+\bruch{1}{(n+1)^{2}}
[/mm]
edit: hab mich mehrfach vertan sorry, so müsst es stimmen nun
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Sa 26.11.2011 | | Autor: | Pauli85 |
Kannst du das bitte noch etwas genauer erläutern? Habe es nicht so ganz verstanden.
Nach der Induktionsvorrausetzung wäre ja [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i^{2}} [/mm] kleiner gleich 2 [mm] -\bruch{1}{n}. [/mm] Kann ich nun das erste mit dem letztren ersetzen oder wie meintest du das?
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 Sa 26.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Kannst du das bitte noch etwas genauer erläutern? Habe es
> nicht so ganz verstanden.
> Nach der Induktionsvorrausetzung wäre ja
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i^{2}}[/mm] kleiner gleich 2
> [mm]-\bruch{1}{n}.[/mm] Kann ich nun das erste mit dem letztren
> ersetzen oder wie meintest du das?
Fast. Es gilt, nach Ind-Vorauss.
[mm] $\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i^{2}}\le2-\bruch{1}{n} [/mm] $
Also:
$ [mm] \summe_{i=1}^{n+1}\bruch{1}{i^{2}}$
[/mm]
[mm] $=\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i^{2}}+\bruch{1}{(n+1)^{2}} [/mm] $
[mm] \le2-\bruch{1}{n}+\bruch{1}{(n+1)^{2}}
[/mm]
Zeige nun, dass
[mm] 2-\bruch{1}{n}+\bruch{1}{(n+1)^{2}}
[/mm]
gleich oder kleiner gleich
[mm] 2-\bruch{1}{n+1}
[/mm]
ist.
>
> Grüße
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Sa 26.11.2011 | | Autor: | Pauli85 |
Wieso 2 - [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] ? Wie hast du das ersetzt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:09 Sa 26.11.2011 | | Autor: | Pauli85 |
Hatte grade einen kleinen Denkfehler, weiß nun wieso du das so ersetzt hast. Danke!
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Hallo!
Das ist deine Ausgangsungleichung
[mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i^{2}} \le 2-\bruch{1}{n}
[/mm]
Wenn du nun A(n) auf A(n+1) zeigen willst, steht da:
[mm]\summe_{i=1}^{n+1} \bruch{1}{i^{2}} \le \red{2-\bruch{1}{n+1}}
[/mm]
Nun kannst du die linke Seite der Ungleichung so umformen:
[mm]\summe_{i=1}^{n+1} \bruch{1}{i^{2}} =\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i^{2}}+\bruch{1}{(n+1)^{2}}
[/mm]
Du weist:
[mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i^{2}} \le 2-\bruch{1}{n}
[/mm]
Daraus folgt:
[mm][/mm][mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i^{2}}+\bruch{1}{(n+1)^{2}}\leq 2- \bruch{1}{n}+\bruch{1}{(n+1)^{2}}[/mm]
Jetzt ist zu zeigen, dass:
[mm]2- \bruch{1}{n}+\bruch{1}{(n+1)^{2}}\leq \red{2-\bruch{1}{n+1}}
[/mm]
gruß Valerie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:51 Sa 26.11.2011 | | Autor: | Pauli85 |
Genau. Hatte wie gesagt einen kleinen Denkfehler. Aber danke für die Mühe und auch danke an die anderen!
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