Induktion? n^4<3^n < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
ich hänge mal wieder an einer Aufgabe und zwar soll ich folgendes zeigen:
[mm] \exists n_0 \in \IN: n^4 [/mm] < [mm] 3^n \forall [/mm] n [mm] \ge n_0
[/mm]
Meine erste Überlegung war, das per Induktion zu zeigen. Und zwar wollte ich zunächst als Ind.anfang n= [mm] n_0 [/mm] (=1 ?!) setzen. Für n= 1 gilt die Beh. auch noch, denn 1 < 3.
Allerdings kam ich dann direkt im Induktionsschritt nicht weiter, denn
[mm] (n+1)^4 [/mm] = [mm] n^4 +4n^3 [/mm] + [mm] 6n^2+4n [/mm] + 1 < (nach IV) [mm] 3^n [/mm] + [mm] 4n^3+6n^2 [/mm] + 4n +1, allerdings bekomm ich das jetzt nicht abgeschätzt zu [mm] 3^{n+1}
[/mm]
Ich habe mir nun mal überlegt, wie sich die ungleichung für verschiedene n verhält und habe n=2,3,4,5,6 getestet, für die gilt die ungleichung jedoch schonmal nicht... das würde erklären, warum ich bei der Ind. auch nicht weiter komme...
Wird die Ungleichung überhaupt mal ab irgendeinem n gelten?! WEnn ja, wie kann ich dieses [mm] n_0 [/mm] bestimmen?
Oder habe ich irgendwo einen ganz gewaltigen Denkfehler?
Ich würde mich sehr über eure Antworten freuen! Danke schonmal!
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:47 Di 25.10.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
ist [mm] $4\ln n
vg Luis
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ln = natürlicher Logarithmus? Oder ist das ein Tippfehler oder was genau ist mit ln gemeint?
LG
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Hallo Isabelle90,
> ln = natürlicher Logarithmus? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Oder ist das ein Tippfehler
> oder was genau ist mit ln gemeint?
Ja, ist es. Der [mm]ln[/mm] ist streng monoton steigend, die Ungleichungsrelation bleibt also bei Anwendung von [mm]\ln[/mm] auf die Gleichung erhalten:
[mm]n^4 \ < \ 3^n[/mm]
[mm]\gdw n^4 < e^{\ln\left(3^n\right)}=e^{n\ln(3)}[/mm]
[mm]\gdw \ln\left(n^4\right) < \ln\left(e^{n\ln(3)}\right)[/mm]
[mm]\gdw 4\ln(n) < n\ln(3)[/mm]
Du kannst also äquivalent zur Ausgangsaussage die letzte Aussage zeigen
>
> LG
Gruß
schachuzipus
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Vielen Dank erstmal!
Gibt es noch eine andere (einfachere) Möglichkeit, das zu zeigen? Ich bin mir nämlich unsicher, ob wir den ln bzw die Eigenschaften schon verwenden dürfen... Bisher kam dazu noch nichts in der Vorlesung...
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Hallo nochmal,
> Vielen Dank erstmal!
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> Gibt es noch eine andere (einfachere) Möglichkeit, das zu
> zeigen? Ich bin mir nämlich unsicher, ob wir den ln bzw
> die Eigenschaften schon verwenden dürfen... Bisher kam
> dazu noch nichts in der Vorlesung...
Dann mache die Induktion wie du angesetzt hast.
Überzeuge dich davon, dass die Aussage ab $n=8$ gilt.
Zz. ist also:
[mm] $\forall n\in\IN, n\ge [/mm] 0: [mm] n^4<3^n$
[/mm]
IA: $n=8$ --> ausrechnen.
Nun Induktionsschritt: Sei [mm] $\n\in\IN, n\ge [/mm] 8$ bel. und gelte [mm] $n^4<3^n$
[/mm]
Dann ist zz., dass auch [mm] $(n+1)^4<3^{n+1}$ [/mm] ist
Dass also [mm] $n^4+4n^3+6n^2+4n+1<3\cdot{}3^n=3^n+2\cdot{}3^n$
[/mm]
Nach IV ist [mm] $n^4<3^n$, [/mm] also bleibt zu zeigen, dass
[mm] $4n^3+6n^2+4n+1<2\cdot{}3^n$
[/mm]
Überlege mal, was dir dazu einfällt ...
Gruß
schachuzipus
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Also ich habe den Anfang des Ind.schritts nun wie folgt
[mm] (n+1)^4 [/mm] = [mm] n^4^+4n^3 +6n^2 [/mm] +4n+1 nach IV < [mm] 3^n +4n^3 [/mm] + [mm] 6n^2 [/mm] +4n +1 = [mm] 3^n [/mm] + [mm] 2(2n^3+3n^2+2n)+1 [/mm]
Jetzt könnte ich ja separat per Ind. zeigen, dass [mm] 2n^3+3n^2 [/mm] +2n + 1/2 < [mm] 3^n [/mm] ist, oder ist das zu umständlich?
was ich ansonsten ja zum Abschätzen gebrauchen könnte, ist die Tatsache, dass n [mm] \ge [/mm] 8 ist, allerdings bringt mich das nicht wirklich weiter...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Di 25.10.2011 | | Autor: | abakus |
> Also ich habe den Anfang des Ind.schritts nun wie folgt
> [mm](n+1)^4[/mm] = [mm]n^4^+4n^3 +6n^2[/mm] +4n+1 nach IV < [mm]3^n +4n^3[/mm] + [mm]6n^2[/mm]
> +4n +1 = [mm]3^n[/mm] + [mm]2(2n^3+3n^2+2n)+1[/mm]
> Jetzt könnte ich ja separat per Ind. zeigen, dass
> [mm]2n^3+3n^2[/mm] +2n + 1/2 < [mm]3^n[/mm] ist, oder ist das zu
> umständlich?
> was ich ansonsten ja zum Abschätzen gebrauchen könnte,
> ist die Tatsache, dass n [mm]\ge[/mm] 8 ist, allerdings bringt mich
> das nicht wirklich weiter...
Damit kannst du eine Abschätzungskette anlegen.
Für n>7 ist z.B. 4n+1<5n.
Somit gilt
[mm] n^4+4n^3 +6n^2 +4n+1
Für n>7 ist auch [mm] 5n
[mm] n^4+4n^3 +6n^2 +5n
Für n>7 ist auch [mm] 7n^2
[mm] n^4+4n^3 +7n^2
Für n>7 ist auch ...
Gruß Abakus
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> Damit kannst du eine Abschätzungskette anlegen.
> Für n>7 ist z.B. 4n+1<5n.
> Somit gilt
> [mm]n^4+4n^3 +6n^2 +4n+1
> Für n>7 ist auch [mm]5n
> [mm]n^4+4n^3 +6n^2 +5n
> Für n>7 ist auch [mm]7n^2
> [mm]n^4+4n^3 +7n^2
> Für n>7 ist auch ...
>
Ok, das habe ich nun so gemacht. als letztes hab ich noch die Abschätzung [mm] 5n^3
Damit kommt das alles super hin. Danke nochmal!
Allerdings hab ich noch eine letzte Frage:
Muss ich meine Abschätzungen erst noch beweisen? Oder kann ich das als klar voraussetzen. Ich mein es ist ja logisch, dass sie ab einem gewissen Wert gelten, aber in der Mathematik heißt das ja noch lange nichts ;)
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:33 Mi 26.10.2011 | | Autor: | luis52 |
> > Damit kannst du eine Abschätzungskette anlegen.
> > Für n>7 ist z.B. 4n+1<5n.
> > Somit gilt
> > [mm]n^4+4n^3 +6n^2 +4n+1
> > Für n>7 ist auch [mm]5n
> > [mm]n^4+4n^3 +6n^2 +5n
> > Für n>7 ist auch [mm]7n^2
> > [mm]n^4+4n^3 +7n^2
> > Für n>7 ist auch ...
> >
>
> Ok, das habe ich nun so gemacht. als letztes hab ich noch
> die Abschätzung [mm]5n^3
> Damit kommt das alles super hin. Danke nochmal!
> Allerdings hab ich noch eine letzte Frage:
> Muss ich meine Abschätzungen erst noch beweisen? Oder kann
> ich das als klar voraussetzen.
Eigentlich nicht, aber ein Pruefer ist im allgemeinen dankbar fuer eine Schlussbemerkung der Form
Es ist offenkundig [mm]5n^3
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:32 Mi 26.10.2011 | | Autor: | Isabelle90 |
Danke!
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