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Induktionsanfang: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:52 So 24.10.2010
Autor: moody

Aufgabe
[mm] \produkt_{i=0}^{n}(1+a^{2^{i}}) [/mm] = [mm] \bruch{1-a^{2^{(n+1)}}}{1-a} [/mm]

$a [mm] \not= [/mm] 1$ $n$ [mm] \in \IN_{0} [/mm]

Hallo,

bei dieser Aufgabe scheiter ich bereits am Induktionsanfang.

Induktions-Anfang

$n=0$

dann ergibt sich:

[mm] (1+a^{2^{0}}) [/mm] = [mm] \bruch{1-a^{2^{(0+1)}}}{1-a} [/mm]

[mm] (1+a^{2*0}) [/mm] = [mm] \bruch{1-a^{2^{1}}}{1-a} [/mm]

[mm] $(1+a^{0})$ [/mm] = [mm] \bruch{1-a^{2^{1}}}{1-a} [/mm]

$(1+1)$ = [mm] \bruch{1-a^{2^{1}}}{1-a} [/mm] | $* (1-a)$

$2(1-a)= [mm] 1-a^2$ [/mm]

$2-2a= [mm] 1-a^2$ [/mm]

[mm] $a^2 [/mm] - 2a + 1 = 0$

[mm] $(a-1)^2 [/mm] = 0$

$(a-1)*(a-1) = 0$

Ein Produkt ist null wenn mindestens einer der beiden Faktoren auch 0 ist.

Das kann hier nur für $a=1$ eintreten und das haben wir ja bereits ausgeschlossen.

Ich hoffe ihr könnt mir da auf die Sprünge helfen.

lg moody


        
Bezug
Induktionsanfang: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:56 So 24.10.2010
Autor: Sax

Hi,

Hier steckt dein Fehler :

> $ [mm] (1+a^{2^{0}}) [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1-a^{2^{(0+1)}}}{1-a} [/mm] $

> $ [mm] (1+a^{2\cdot{}0}) [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1-a^{2^{1}}}{1-a} [/mm] $


[mm] 2^0 [/mm] = 1 und [mm] 2^0 [/mm] = 2*0 ist falsch.

Gruß Sax.

Bezug
                
Bezug
Induktionsanfang: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:04 So 24.10.2010
Autor: moody

Vielen Dank für die schnelle Antwort.

[mm] 2^{2^3} [/mm] = [mm] 2^{8} [/mm]

[mm] 2^{8} \not= 2^{2*3} [/mm]

Macht ja auch irgendwie sinn [lichtaufgegangen]

lg moody



Bezug
        
Bezug
Induktionsanfang: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:41 So 24.10.2010
Autor: moody

So jetzt komme ich beim Induktionsschluss nicht wirklich dahin wo ich hin möchte.

$A(n+1): [mm] \bruch{1-a^{2^{n+1+1}}}{1-a}$ [/mm]

Ich weiss das ich dahin möchte.

$A(n+1):$  [mm] \produkt_{i=0}^{n+1}(1+a^{2^{i}}) [/mm]

=  [mm] \produkt_{i=0}^{n}(1+a^{2^{i}}) [/mm] * [mm] (1+a^{2^{n+1}}) [/mm]

nach Vorraussetzung =  [mm] \bruch{1-a^{2^{n+1}}}{1-a} [/mm] * [mm] (1+a^{2^{n+1}}) [/mm]

=  [mm] \bruch{(1-a^{2^{n+1}})*(1+a^{2^{n+1}})}{1-a} [/mm]

=  [mm] \bruch{1-a^{2^{n+1}} + a^{2^{n+1}} +(-a^{2^{n+1}})(a^{2^{n+1}})}{1-a} [/mm]

=  [mm] \bruch{1+(-a^{2^{n+1}})(a^{2^{n+1}})}{1-a} [/mm]

[mm] (-a^{2^{n+1}})(a^{2^{n+1}}) [/mm] ist doch [mm] -a^{2^{2n+2}} [/mm] oder?

Wenn man mit [mm] a^2 [/mm] multiplizieren würde, würde es ja passen. Wo habe ich mich diesmal vertan?

lg moody


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Bezug
Induktionsanfang: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:56 So 24.10.2010
Autor: Sax

Hi,

diesmal hier :

> $ [mm] (-a^{2^{n+1}})(a^{2^{n+1}}) [/mm] $ ist doch $ [mm] -a^{2^{2n+2}} [/mm] $ oder?

$ [mm] a^{2^{n+1}} [/mm] * [mm] a^{2^{n+1}} [/mm]  =  [mm] (a^{2^{n+1}})^2 [/mm]  =  [mm] a^{2^{n+1}*2} [/mm]  =   [mm] a^{2^{n+1}*2^1} [/mm]  =  [mm] a^{2^{n+1+1}} [/mm]  =  [mm] a^{2^{n+2}} [/mm]  $  wie es sein soll.

Gruß Sax.

Bezug
                        
Bezug
Induktionsanfang: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:06 So 24.10.2010
Autor: moody

Mir kam die Umformung zu [mm] $(...)^2$ [/mm] nicht in den Sinn.

Bzw. durch Anwendung des Potenzgesetzes gleicher Exponent, verschiedene Basis kommt man auch ans Ziel, wenn auch über Umwege. Jetzt habe ich aber alles verstanden und werde mir am besten die Potenzgesetze nochmal anschauen, denn die sollten  mittlerweile eigentlich sitzen.

Vielen Dank und schönen abend noch.

lg moody




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