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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:48 Sa 29.10.2005 | | Autor: | ttgirltt |
Sei [mm] a_{1}= \wurzel{6} [/mm] und [mm] a_{n+1}= \wurzel{6+a_{n}}. [/mm] Zeigen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion dass für alle n [mm] \inN [/mm] gilt: [mm] a_{n} \le3 [/mm] und [mm] a_{n+1}\ge a_{n}
[/mm]
Wie soll ich denn Induktion beginnen was ist hier Anfang Behauptung oder sonstiges??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:03 Sa 29.10.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo
die Aufgabe wäre sicher um Einiges verständlicher, wenn du das schöner schreiben würdest, also so:
Sei [mm] $a_1 [/mm] = [mm] \wurzel{6}$ [/mm] und [mm] $a_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{6+a_n}$
[/mm]
Zeigen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion dass für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt:
[mm] $a_n \le [/mm] 3$ und [mm] $a_{n+1} \ge a_n$
[/mm]
Gruss
Paulus
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> Sei [mm]a_{1}= \wurzel{6}[/mm] und [mm]a_{n+1}= \wurzel{6+a_{n}}.[/mm]
> Zeigen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion dass für
> alle n [mm]\inN[/mm] gilt: [mm]a_{n} \le3[/mm] und [mm]a_{n+1}\ge a_{n}[/mm]
>
> Wie soll ich denn Induktion beginnen was ist hier Anfang
> Behauptung oder sonstiges??
>
Hallo,
die Induktion beginnst Du, indem Du zeigst, daß die Beh. für n=1 gilt.
Daß also gilt: [mm] a_1 \le [/mm] 3 und [mm] a_2 \ge a_1.
[/mm]
In nächsten Schritt mußt Du unter dar Voraussetzng, daß für
alle n [mm]\inN[/mm] gilt: [mm]a_{n} \le3[/mm] und [mm]a_{n+1}\ge a_{n}[/mm] gilt, zeigen, daß dann auch
[mm]a_{n+1} \le 3[/mm] und [mm]a_{(n+1)+1}\ge a_{n+1}[/mm] richtig ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:13 So 30.10.2005 | | Autor: | ttgirltt |
wie kann man denn [mm] a_{n+1} \le3 [/mm]
[mm] a_{n+1+1} \ge a_{n+1}
[/mm]
irgendwie umstellen kann man [mm] a_{n+1} [/mm] umschreiben in [mm] a_{n}+????
[/mm]
Muss man da Summenzeichen schreiben oder wie komm ich da auf irgendetwas
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> wie kann man denn [mm]a_{n+1} \le3 a_{(n+1)+1} \gea_{n+1}[/mm]
>
> irgendwie umstellen kann man [mm]a_{n+1}[/mm] umschreiben in
> [mm]a_{n}+????[/mm]
Wie bist Du daaaaaaaaarauf gekommen. Zeig mal!
Ich glaube, da ist etwas schief gelaufen.
Gruß v. Angela
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> Sei [mm]a_{1}= \wurzel{6}[/mm] und [mm]a_{n+1}= \wurzel{6+a_{n}}.[/mm]
> Zeigen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion dass für
> alle n [mm]\inN[/mm] gilt: [mm]a_{n} \le3[/mm] und [mm]a_{n+1}\ge a_{n}[/mm]
Den Induktionsanfang hast Du inzwischen?
Der Induktionsschluß:
Du mußt hier doch [mm] a_{n+1} [/mm] nach oben abschätzen.
Was ist denn [mm] a_{n+1}?
[/mm]
Was weißt Du über [mm] a_n [/mm] lt. Induktionsvoraussetzung?
Anschließend kannst Du [mm] a_{n+2} [/mm] nach unten abschätzen.
Was ist [mm] a_{n+2}? [/mm] Was weißt Du über [mm] a_{n+1}
[/mm]
Fang doch einfach mal an! Zeig mal, was Du bisher hast!
Wenn man sieht, wo es hängt, hilft Dir sicher jemand weiter.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 So 30.10.2005 | | Autor: | ttgirltt |
Also mien Induktionsanfang ist für n=1 ist a= [mm] \wurzel{6} \Rightarrow [/mm] n=2 ist a [mm] \wurzel{6+ \wurzel{6}}. [/mm] Die Bedingungen sind ebenfalls erfüllt
a1 [mm] \le [/mm] a2 und a1,a2 [mm] \le3.
[/mm]
So Voraussetung sind ja die ganzen Bedingungen und Behauptung ist jetzt das [mm] a_{n+1} \le3 [/mm] und [mm] a_{n+2} \ge a_{n+1}.
[/mm]
Aber wie ich das nach oben bzw nach untenabschätze weiß ich nicht was soll ich denn damit machen
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Hallo,
vergiß nicht die Indizes. Gibt Punktabzug...
Ich zieh's Dir mal ein bißchen zurecht und bügele es:
> Induktionsanfang : n=1
Es ist [mm] a_1=[/mm] [mm][mm] \wurzel{6} [/mm] < [mm] \wurzel{9}=3
[/mm]
und
[mm] a_2[/mm] [mm]\wurzel{6+ \wurzel{6}}.[/mm] > [mm] \wurzel{6} [/mm] = [mm] a_1
[/mm]
Also stimmt die Behauptung für n=1.
> So Voraussetung sind ja die ganzen Bedingungen
Ich glaube, Du meinst das Richtige.
und
> Behauptung ist jetzt das [mm]a_{n+1} \le3[/mm] und [mm]a_{n+2} \ge a_{n+1}.[/mm]
Jawoll.
>
> Aber wie ich das nach oben bzw nach untenabschätze weiß ich
> nicht was soll ich denn damit machen
(Bitte: wenn ab und an mal ein Satzzeichen kommt, kann man es wirklich schneller verstehen.)
Zuerst muß man [mm] a_{n+1} [/mm] abschätzen.
Was ist denn nun [mm] a_{n+1}? [/mm]
Wie lautet denn das "Kochrezept" fürs nächste Folgenglied? Schreib es doch mal hin!!! Ich bin dann ja willens, Dir dann beim Abschätzen zu helfen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:36 So 30.10.2005 | | Autor: | grashalm |
Na [mm] a_{n+1}= \wurzel{a_{n}+6}
[/mm]
ach und muss ich dann einfach schreib das das kleiner gleich drei ist
und dann quadrieren und hab dann [mm] 6+a_{n} \le [/mm] 9 naja und dann -6 und hab ja dann wieder die Aussage an kleiner gleich drei??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 So 30.10.2005 | | Autor: | grashalm |
Nehm mal an das das jetzt auch an+2 gemacht werden muss doch dabei komm ich auf [mm] \wurzel{6+an} \ge [/mm] an
Aber das stimmt doch nicht
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> Nehm mal an das das jetzt auch an+2 gemacht werden muss
> doch dabei komm ich auf [mm]\wurzel{6+an} \ge[/mm] an
> Aber das stimmt doch nicht
Zu Deiner vorigen Frage:
Einfach zu schreiben, daß [mm] a_{n+1}= \wurzel{a_{n}+6} [/mm] < 3 ist, reicht natürlich überhaupt nicht!
Man muß es fein behutsam abschätzen und begründen.
[mm] a_{n+1}= \wurzel{a_{n}+6}< \wurzel{3+6} [/mm] (warum???) =3
Auch für [mm] a_{n+2} [/mm] muß man abschätzen. Nicht etwa gleich mit dem starten, was Du beweisen willst!!!
Also
[mm] a_{n+2}= \wurzel{6+a_{n+1}}=\wurzel{2*3+a_{n+1}}>...
[/mm]
Gruß v. Angela
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