Induktionsbeweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo
Also, ich hab da Probleme mit dem Induktionsbeweis. Ich muss folgende Aufgaben lösen.... ich hoffe ihr könnt mir helfen
1.
Beweisen sie mittels Induktion: [mm] "9^n [/mm] -1 ist durch 8 teilbar (ohne Rest) [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN"
[/mm]
2. Beweisen sie mittels Induktion: [mm] $2*1!+5*2!+10*3!+...+(n^2+1)*n!=n*(n+1)!$
[/mm]
3. Beweisen sie mittels Induktion: 2n +1 [mm] <=2^n [/mm] für n= 3,4,5...
4. Behauptung: n Geraden schneiden sich höchstens in [mm] \vektor{n \\ 2} [/mm] Punkten
So das wärs... Vielen Dank schon im Voraus mfg tommy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:09 Sa 08.01.2005 | | Autor: | mando |
Also: Bei Induktion musst du zunächst die Gleichung für deinen Startwert überprüfen(Induktionsanfang). Bei Aufgabe 1 wäre das: Für n=1 ist [mm] 9^{n} [/mm] - 1 = 8 und 8 teilt 8.
Dann nimmst du an, dass deine Gleichung für n = k erfüllt ist und schließt daraus dass sie dann auch für n = k+1 gelten muss. (Induktionsschluss)
Aufgabe 1:
Induktionsvorraussetzung: [mm] 9^{k}-1 [/mm] teilt 8
[mm] 9^{k+1}-1 [/mm] = [mm] 9\*9^{k}-1 [/mm] = [mm] (8+1)\*9^{k}-1 [/mm] = [mm] 8\*9^{k}+9^{k}-1
[/mm]
[mm] 8\*9^{k} [/mm] teilt 8 und [mm] 9^{k}-1 [/mm] teilt 8 nach Induktionsvorrausetzung.
Beweis beendet.
Die anderen Aufgaben gehen ähnlich, wenn dus trotzdem nicht hinkriegst meld dich nochmal.
Mfg Mando
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:33 So 09.01.2005 | | Autor: | NachoNovo |
hallo mando
Vielen Dank für die Erklärung, jetzt komme ich langsam drauf wies funktioniert. Danke
mfg Tommy
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Sa 08.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo NachoNovo,
zunächst einmal ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
In dieser Frage ist eine sehr ähnliche Frage bereits beantwortet worden.
Der Unterschied zu Deiner Aufgabe ist sehr gering, so daß Du diese nun bestimmt hinkriegst ...
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:39 So 09.01.2005 | | Autor: | NachoNovo |
hi loddar
also ich hab mir das angeschaut und es hat geklappt, ist wirklich sehr ähnlich. Danke
mfg tommy
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:42 Sa 08.01.2005 | | Autor: | taura |
Also, du sollst beweisen (umformuliert):
[mm] \summe_{i=1}^{n} (i^2+1)*i!=n*(n+1)![/mm]
Der Start wirst du selbst schaffen, einfach n=1 setzen.
Für den Schritt [mm]n \to n+1[/mm] ist zu zeigen:
[mm]\summe_{i=1}^{n+1} (i^2+1)*i!=(n+1)*(n+2)![/mm]
Es gilt:
[mm]\summe_{i=1}^{n+1} (i^2+1)*i![/mm]
[mm]=((n+1)^2+1)*(n+1)!+ \summe_{i=1}^{n} (i^2+1)*i![/mm]
[mm]^{I.V.}=n*(n+1)!+((n+1)^2+1)*(n+1)![/mm]
[mm]=(n+1)!*(n+(n+1)^2+1)[/mm]
[mm]=(n+1)!*((n+1)+(n+1)(n+1))[/mm]
[mm]=(n+1)!*((n+1)*(1+n+1))[/mm]
[mm]=(n+1)!*(n+1)*(n+2)[/mm]
[mm]=(n+1)*(n+2)![/mm]
Also gilt die Aussage für n+1, also auch für alle n.
[mm] \Box
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:37 So 09.01.2005 | | Autor: | NachoNovo |
hi taura
also es hat geklappt, vielen herzlichen Dank
mfg tommy
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