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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:45 So 26.04.2009 | | Autor: | Gakje |
| Aufgabe | Finden Sie eine allgemeine Formel für die n-te Ableitung [mm] f^n(x) [/mm] (n [mm] \ge [/mm] 0) und beweisen Sie sie durch vollständige Induktion:
f(x) = [mm] \bruch{1}{(-5x+4)^4} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also angefangen habe ich indem ich die ersten 3 Ableitungen gebildet habe um dann eine allgemeine Formel aufzustellen.
[mm] f(x)=\bruch{1}{(-5x+4)^4}
[/mm]
[mm] f^1(x)=\bruch{20}{(-5x+4)^5}
[/mm]
[mm] f^2(x)=\bruch{500}{(-5x+4)^6}
[/mm]
[mm] f^3(x)=\bruch{15000}{(-5x+4)^7}
[/mm]
Leider komme ich hier auf keine allgemeine Formel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 So 26.04.2009 | | Autor: | Rino |
Hey!
wenn du dir die Ableitungen ein bisschen anders aufschreibst, kann man eine Formel erkennen:
[mm]f(x)=\bruch{1}{(-5x+4)^4}[/mm]
[mm]f^1(x)=\bruch{4*5}{(-5x+4)^5}[/mm]
[mm]f^2(x)=\bruch{4*5*5^2}{(-5x+4)^6}[/mm]
[mm]f^3(x)=\bruch{4*5*6*5^3}{(-5x+4)^7}[/mm]
[mm]f^3(x)=\bruch{4*5*6*7*5^4}{(-5x+4)^8}[/mm]
usw.
Das heißt du kommst auf eine Formel:
[mm] $f^n(x)=\bruch{(n+3)!}{3!}*\bruch{5^n}{(-5x+4)^{n+4}}$
[/mm]
Die musst du dann nur noch per Induktion beweisen.
Grüße, Rino
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 So 26.04.2009 | | Autor: | Gakje |
| Aufgabe | Finden Sie eine allgemeine Formel für die n-te Ableitung [mm] f^n(x) [/mm] (n [mm] \ge [/mm] 0) und beweisen Sie sie durch vollständige Induktion:
f(x) = [mm] \bruch{1}{(-5x+4)^4} [/mm] |
okay, hab dann mit Induktion angefangen.
Induktionsanfang:
n=1
[mm] f^1(x) [/mm] = [mm] \bruch{(1+3)!}{3!} \* \bruch{5^1}{(-5x+4)^{1+4}}
[/mm]
[mm] f^1(x) [/mm] = [mm] \bruch{20}{(-5x+4)^5}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] A(n) gilt!
Induktionsannahme:
A(n) [mm] \gdw [/mm] A(n+1)
Induktionsschritt:
[mm] f^{n+1}(x) [/mm] = [mm] \bruch{(n+1+3)!}{3!} \* \bruch{5^{n+1}}{(-5x+4)^{n+1+4}}
[/mm]
[mm] f^{n+1}(x) [/mm] = [mm] \bruch{(n+3)! \* (n+1)}{3!} \* \bruch{5^n*5}{(-5x+4)^{n+4} \* (-5x+4)}
[/mm]
[mm] f^{n+1}(x) [/mm] = [mm] \bruch{(n+3)!}{3!} \* \bruch{5^n}{(-5x+4)^{n+4}} \* \bruch{n+1}{(-5x+4)}
[/mm]
Aber wie mach ich weiter?!
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Hallo,
fange so an:
[mm] f^{(n+1)}=\left(f^{(n)}\right)'=
[/mm]
hier kannst du die Induktionsvoraussetzung [mm] f^{(n)} [/mm] einsetzen und diese dann ableiten.
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 So 26.04.2009 | | Autor: | Gakje |
| Aufgabe | Finden Sie eine allgemeine Formel für die n-te Ableitung [mm] f^n(x) [/mm] (n [mm] \ge [/mm] 0) und beweisen Sie sie durch vollständige Induktion:
f(x) = [mm] \bruch{1}{(-5x+4)^4} [/mm] |
okay, hab das ma gemacht.
[mm] f^{n+1}(x) [/mm] = [mm] \bruch{(n+4)!}{3!} \* \bruch{5^{n+1}}{(-5x+4)^{n+5}}
[/mm]
so weit so gut, komme mit der ableitung bis zum Ende, aber irgendwo muss sich ein Fehler eingeschlichen haben, den ich nicht finde.
[mm] (f^n(x))' [/mm] = [mm] ((\bruch{(n+3)!}{3!} \* 5^n) \* ((-5x+4)^{-n-4}))'
[/mm]
Hier wende ich die Produktregel an: [mm] u'\*v+u\*v'
[/mm]
[mm] (f^n(x))' [/mm] = [mm] (\bruch{(n+3)!}{3!} \* 5^n) \* \bruch{1}{(-5x+4)^{n+4}} [/mm] + [mm] (\bruch{(n+3)!}{3!} \* 5^n) \* [/mm] ((-n-4) [mm] \* (-5x+4)^{-n-5} \* [/mm] (-5))
[mm] (f^n(x))' [/mm] = [mm] (\bruch{(n+3)!}{3!} \* 5^n) \* (\bruch{1}{(-5x+4)^{n+4}} [/mm] + [mm] \bruch{(-n-4)(-5)}{(-5x+4)^{n+5}})
[/mm]
[mm] (f^n(x))' [/mm] = [mm] (\bruch{(n+3)!}{3!} \* 5^n) \* (\bruch{1}{(-5x+4)^{n+4}} [/mm] + [mm] \bruch{(n+4)(5)}{(-5x+4)^{n+5}})
[/mm]
[mm] (f^n(x))' [/mm] = [mm] (\bruch{(n+3)!}{3!} \* 5^n) \* (\bruch{(n+4)(5)(-5x+4)}{(-5x+4)^{n+5}})
[/mm]
Das (-5x+4) stört, sonst könnte man es zusammenfassen und würde das ganz oben erwähnte Ergebnis bekommen.
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Hallo Gakje,
> Finden Sie eine allgemeine Formel für die n-te Ableitung
> [mm]f^n(x)[/mm] (n [mm]\ge[/mm] 0) und beweisen Sie sie durch vollständige
> Induktion:
>
> f(x) = [mm]\bruch{1}{(-5x+4)^4}[/mm]
> okay, hab das ma gemacht.
>
> [mm]f^{n+1}(x)[/mm] = [mm]\bruch{(n+4)!}{3!} \* \bruch{5^{n+1}}{(-5x+4)^{n+5}}[/mm]
Jo, das wäre zu zeigen!
>
> so weit so gut, komme mit der ableitung bis zum Ende, aber
> irgendwo muss sich ein Fehler eingeschlichen haben, den ich
> nicht finde.
>
> [mm](f^n(x))'[/mm] = [mm]((\bruch{(n+3)!}{3!} \* 5^n) \* ((-5x+4)^{-n-4}))'[/mm]
>
> Hier wende ich die Produktregel an: [mm]u'\*v+u\*v'[/mm]
Bedenke, dass der erste Faktor von x unabhängig ist, also $u'(x)=0$
> [mm](f^n(x))'[/mm] = [mm](\bruch{(n+3)!}{3!} \* 5^n) \* \bruch{1}{(-5x+4)^{n+4}}[/mm]
> + [mm](\bruch{(n+3)!}{3!} \* 5^n) \*[/mm] ((-n-4) [mm]\* (-5x+4)^{-n-5} \*[/mm]
> (-5))
> [mm](f^n(x))'[/mm] = [mm](\bruch{(n+3)!}{3!} \* 5^n) \* (\bruch{1}{(-5x+4)^{n+4}}[/mm]
> + [mm]\bruch{(-n-4)(-5)}{(-5x+4)^{n+5}})[/mm]
> [mm](f^n(x))'[/mm] = [mm](\bruch{(n+3)!}{3!} \* 5^n) \* (\bruch{1}{(-5x+4)^{n+4}}[/mm]
> + [mm]\bruch{(n+4)(5)}{(-5x+4)^{n+5}})[/mm]
> [mm](f^n(x))'[/mm] = [mm](\bruch{(n+3)!}{3!} \* 5^n) \* (\bruch{(n+4)(5)[red](-5x+4)[/red]}{(-5x+4)^{n+5}})[/mm]
>
> Das rot markierte stört, sonst könnte man es zusammenfassen
> und würde das ganz oben erwähnte Ergebnis bekommen.
Mit der obigen Bem. ist dann
[mm] $f^{n+1}(x)=\frac{(n+3)!}{3!}\cdot{}5^n\cdot{}\left[\frac{1}{(-5x+4)^{n+4}}\right]'$
[/mm]
[mm] $=\frac{(n+3)!}{3!}\cdot{}5^n\cdot{}\left[\left(-5x+4\right)^{-n-4}\right]'$
[/mm]
[mm] $=\frac{(n+3)!}{3!}\cdot{}5^n\cdot{}(-n-4)\cdot{}(-5x+4)^{-n-5}\cdot{}(-5)$
[/mm]
Nun sollte es aber klappen ...
Die $-5$ und das $(-n-4)$ zusammenfassen ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:10 So 26.04.2009 | | Autor: | Gakje |
da sitz ich hier stundenlang, nur weil ich so eine Kleineigkeit übersehe, aber danke.
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