Induktionsbeweis < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 So 06.09.2009 | | Autor: | nawu9539 |
| Aufgabe | Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass fur alle
n e N gilt:
bn := 2^2n+3 + 2 · 5^2n−1 ist durch 42 teilbar. |
Induktionsanfang:
Setze n=1
[mm] b1:=2^2 [/mm] · 1+3 + 2 · [mm] 5^2·1-1=42
[/mm]
--> ist durch 42 teilbar --> wahre aussage.
Indusktionsschritt:
n--->n+1
bn+1 = [mm] 2^2(n+1)+3 [/mm] + 2 · [mm] 5^2(n+1)-1
[/mm]
= 2^2n+5 + 2 · 5^2n+1
= 2^2n+3 · [mm] 2^2 [/mm] + 2 · 5^2n-1 · [mm] 5^2
[/mm]
= 2^2n+3 · 4 + 2 · 5^2n-1 · 25
= 2^2n+3 · 4 + 4 · 2 · 5^2n-1 - 4 · 2 · 5^2n-1 + 2 · 5^2n-1 · [mm] 5^2
[/mm]
(iv)= 4 · bn - 4 · 2 · 5^52n-1 + 2 · 5^2n-1 · [mm] 5^2 [/mm]
hier komme ich jetzt nicht weiter...vielleicht ist dort auch ein rechenfehler?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo nawu9539 und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass fur alle
> n e N gilt:
> bn := 2^2n+3 + 2 · 5^2n−1 ist durch 42 teilbar.
> Induktionsanfang:
>
> Setze n=1
>
> [mm]b1:=2^2[/mm] · 1+3 + 2 · [mm]5^2·1-1=42[/mm]
> --> ist durch 42 teilbar --> wahre aussage.
>
> Indusktionsschritt:
> n--->n+1
>
> bn+1 = [mm]2^2(n+1)+3[/mm] + 2 · [mm]5^2(n+1)-1[/mm]
> = 2^2n+5 + 2 · 5^2n+1
> = 2^2n+3 · [mm]2^2[/mm] + 2 · 5^2n-1 · [mm]5^2[/mm]
> = 2^2n+3 · 4 + 2 · 5^2n-1 · 25
> = 2^2n+3 · 4 + 4 · 2 · 5^2n-1 - 4 · 2 ·
> 5^2n-1 + 2 · 5^2n-1 · [mm]5^2[/mm]
> (iv)= 4 · bn - 4 · 2 · 5^52n-1 + 2 · 5^2n-1 · [mm]5^2[/mm]
>
> hier komme ich jetzt nicht weiter...vielleicht ist dort
> auch ein rechenfehler?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Mache dir die Sache einfacher, indem du zeigst, dass [mm] $b_n$ [/mm] durch $2,3$ und $7$ teilbar ist.
Damit ist es dann auch durch [mm] $42=2\cdot{}3\cdot{}7$ [/mm] teilbar
Die Teilbarkeit durch 2 ist unmittelbar klar, du kannst ja aus dem allg. [mm] $b_n$ [/mm] eine 2 ausklammern.
Die Teilbarkeit durch 3 und 7 weise durch Induktion nach
zu 3:
IS: [mm] $n\to [/mm] n+1$
IV: Sei [mm] $n\in\IN$ [/mm] und gelte [mm] $3\mid \left(2^{2n+3}+2\cdot{}5^{2n-1}\right)$
[/mm]
Zu zeigen ist [mm] $3\mid \left(2^{2n+5}+2\cdot{}5^{2n+1}\right)$
[/mm]
Nach IV gilt [mm] $3\mid \left(2^{2n+3}+2\cdot{}5^{2n-1}\right)$
[/mm]
Also auch [mm] $3\mid \underbrace{4}_{=2^2}\cdot{}\left(2^{2n+3}+2\cdot{}5^{2n-1}\right)$
[/mm]
dh. [mm] $3\mid \left(2^{2n+5}+4\cdot{}2\cdot{}5^{2n-1}\right)$
[/mm]
Also auch [mm] $3\mid \underbrace{25}_{=5^2}\cdot{}\left(2^{2n+5}+4\cdot{}2\cdot{}5^{2n-1}\right)=\left(25\cdot{}2^{2n+5}+4\cdot{}2\cdot{}5^{2n+1}\right)=\left(2^{2n+5}+2\cdot{}5^{2n+1}\right)+\left(24\cdot{}2^{2n+5}+3\cdot{}2\cdot{}5^{2n+1}\right)$
[/mm]
Gezeigt ist also, dass 3 diese ganze Summe teilt.
Den zweiten Summanden teilt es aber offensichtlich auch, du kannst ja 3 ausklammern.
Damit teilt es aber auch die Differenz [mm] $\left(2^{2n+5}+2\cdot{}5^{2n+1}\right)+\left(24\cdot{}2^{2n+5}+3\cdot{}2\cdot{}5^{2n+1}\right)-\left(24\cdot{}2^{2n+5}+3\cdot{}2\cdot{}5^{2n+1}\right)=\left(2^{2n+5}+2\cdot{}5^{2n+1}\right)$
[/mm]
Genau das war zu zeigen.
Nun versuche das mal ganz ähnlich mit der 7 ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
