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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 Sa 24.10.2009 | | Autor: | Xafra |
| Aufgabe | Zeigen Sie mithilfe vollständiger Induktion!
Für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] 1+2+4+8+...+2^{n} =\summe_{i=0}^{n} 2^{n} [/mm] = [mm] 2^{n+1} [/mm] -1
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Hab also die Werte für n =1 (3), n=2 (7), n=3 (15) berechnet:
Nur so zum Test:
Dann habe ich angenommen, die Aussage würde stimmen für n=k
[mm] \summe_{i=0}^{k} 2^{i} [/mm] = [mm] 2^{k+1} [/mm] -1
Dann wollte ich sie für n = k+1 folgern:
Also
[mm] \summe_{i=0}^{k+1} [/mm] = [mm] 2^{i} [/mm] = [mm] 2^{k+2} [/mm] -1 = [mm] 4*2^{k}-1
[/mm]
Mach ich das soweit richtig?
Wie kann ich mit dieser Summe weiter verfahren (umformen, etc .......hab das noch nie gemacht!)
Herzlichen Dank für die schnelle Antwort!
mfg
xafra
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Hallo,
> Zeigen Sie mithilfe vollständiger Induktion!
> Für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt:
>
> [mm]1+2+4+8+...+2^{n} =\summe_{i=0}^{n} 2^{n}[/mm] = [mm]2^{n+1}[/mm] -1
>
>
> Hab also die Werte für n =1 (3), n=2 (7), n=3 (15)
> berechnet:
> Nur so zum Test:
>
> Dann habe ich angenommen, die Aussage würde stimmen für
> n=k
>
> [mm]\summe_{i=0}^{k} 2^{i}[/mm] = [mm]2^{k+1}[/mm] -1
>
> Dann wollte ich sie für n = k+1 folgern:
> Also
>
> [mm]\summe_{i=0}^{k+1}[/mm] = [mm]2^{i}[/mm] = [mm]2^{k+2}[/mm] -1 = [mm]4*2^{k}-1[/mm]
>
>
> Mach ich das soweit richtig?
Nein, aus etwas Wahrem etwas Wahres zu folgern ist kein Beweis, was du hier stehen hast, ist zu zeigen, dabei solltest du folgendermaßen starten:
Induktionsschritt: n [mm] \mapsto [/mm] n+1:
[mm] \summe_{i=0}^{n+1}2^{i} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n}2^{i} +2^{n+1} [/mm] = (nach Induktionsvoraussetzung) [mm] 2^{n+1} [/mm] -1 [mm] +2^{n+1} [/mm] = ... [mm] =2^{n+2} [/mm] -1.
Den letzten Zwischenschritt solltest du machen.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:57 Mo 26.10.2009 | | Autor: | Xafra |
Danke für deine schnelle Hilfe!!
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