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Induktionsbeweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:47 Sa 24.10.2009
Autor: Xafra

Aufgabe
Zeigen Sie mithilfe vollständiger Induktion!
Für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt:

[mm] 1+2+4+8+...+2^{n} =\summe_{i=0}^{n} 2^{n} [/mm] = [mm] 2^{n+1} [/mm] -1


Hab also die Werte für n =1 (3), n=2 (7), n=3 (15) berechnet:
Nur so zum Test:

Dann habe ich angenommen, die Aussage würde stimmen für n=k

[mm] \summe_{i=0}^{k} 2^{i} [/mm] = [mm] 2^{k+1} [/mm] -1

Dann wollte ich sie für n = k+1 folgern:
Also

[mm] \summe_{i=0}^{k+1} [/mm] = [mm] 2^{i} [/mm] = [mm] 2^{k+2} [/mm] -1 = [mm] 4*2^{k}-1 [/mm]


Mach ich das soweit richtig?
Wie kann ich mit dieser Summe weiter verfahren (umformen, etc .......hab das noch nie gemacht!)
Herzlichen Dank für die schnelle Antwort!
mfg

xafra

        
Bezug
Induktionsbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:03 Sa 24.10.2009
Autor: ms2008de

Hallo,
> Zeigen Sie mithilfe vollständiger Induktion!
>  Für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt:
>  
> [mm]1+2+4+8+...+2^{n} =\summe_{i=0}^{n} 2^{n}[/mm] = [mm]2^{n+1}[/mm] -1
>  
>
> Hab also die Werte für n =1 (3), n=2 (7), n=3 (15)
> berechnet:
>  Nur so zum Test:
>  
> Dann habe ich angenommen, die Aussage würde stimmen für
> n=k
>  
> [mm]\summe_{i=0}^{k} 2^{i}[/mm] = [mm]2^{k+1}[/mm] -1
>  
> Dann wollte ich sie für n = k+1 folgern:
>  Also
>  
> [mm]\summe_{i=0}^{k+1}[/mm] = [mm]2^{i}[/mm] = [mm]2^{k+2}[/mm] -1 = [mm]4*2^{k}-1[/mm]
>  
>
> Mach ich das soweit richtig?

Nein, aus etwas Wahrem etwas Wahres zu folgern ist kein Beweis, was du hier stehen hast, ist zu zeigen, dabei solltest du folgendermaßen starten:
Induktionsschritt: n [mm] \mapsto [/mm] n+1:

[mm] \summe_{i=0}^{n+1}2^{i} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n}2^{i} +2^{n+1} [/mm] = (nach Induktionsvoraussetzung) [mm] 2^{n+1} [/mm] -1 [mm] +2^{n+1} [/mm] = ... [mm] =2^{n+2} [/mm] -1.
Den letzten Zwischenschritt solltest du machen.

Viele Grüße

Bezug
                
Bezug
Induktionsbeweis: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:57 Mo 26.10.2009
Autor: Xafra

Danke für deine schnelle Hilfe!!

Bezug
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