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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 Mi 08.12.2010 | | Autor: | Sedaka |
| Aufgabe | (a) Zeigen sie per [mm] \bruch{3}{4}Induktion, [/mm] dass [mm] (\bruch{n}{e} [/mm] ^{n} [mm] \le [/mm] n! für alle n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 1.
(b)Konvergiert die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty} (\bruch{1}{k!}^{\bruch{2}{k}}? [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich komme bei der a schon nicht weiter, weil nach der Induktion, egal wie ich vorgehe komme ich bei [mm] \bruch{(n+1)^{n}}{e^{n+1}} \le [/mm] n! raus. Bernoulli darf ich hier ja nicht verwenden da damit nichts bewiesen wäre... (Ungleichheitszeichen falsch herum.) Kann mir jemand da helfen und erklären wie ich damit die b Abschätzen soll?
Hilfe wäre sehr gut, morgen ist Abgabe :/
Danke im Vorraus
Simon
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Hallo Simon und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
mal vorab, was ist eine [mm]\frac{3}{4}[/mm]-Induktion?
> (a) Zeigen sie per [mm]\bruch{3}{4}Induktion,[/mm] dass
> [mm](\bruch{n}{e}[/mm] ^{n} [mm]\le[/mm] n! für alle n [mm]\in \IN[/mm] mit n [mm]\ge[/mm] 1.
>
> (b)Konvergiert die Reihe [mm]\summe_{i=1}^{\infty} (\bruch{1}{k!}^{\bruch{2}{k}}?[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich komme bei der a schon nicht weiter, weil nach der
> Induktion, egal wie ich vorgehe komme ich bei
> [mm]\bruch{(n+1)^{n}}{e^{n+1}} \le[/mm] n! raus.
Im Induktionsschritt hilft ein kleiner "Trick"
(IV): [mm]\left(\frac{n}{e}\right)^n\le n![/mm] für bel. aber festes [mm]n\in\IN[/mm]
Dann ist [mm]\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n+1}=\left(\frac{n+1}{e}\right)^n\cdot{}\frac{n+1}{e}[/mm]
Nun der Trick: multipliziere das Ganze mit einer "geschickten" 1 
Hier mit [mm]\red{\left(\frac{n}{e}\right)^n\cdot{}\left(\frac{e}{n}\right)^n}[/mm]
Das gibt [mm]\red{\left(\frac{n}{e}\right)^n\cdot{}\left(\frac{e}{n}\right)^n}\cdot{}\left(\frac{n+1}{e}\right)^n\cdot{}\frac{n+1}{e}[/mm]
Nun fasse die mittleren Faktoren zusammen:
[mm]=\left(\frac{n}{e}\right)^n\cdot{}\left(\frac{n+1}{n}\right)^n\cdot{}\frac{n+1}{e}[/mm]
Schreibe nun den mittleren Faktor etwas anders, dann sollte er dir aber mehr als bekannt vorkommen.
Er konvergiert für [mm]n\to\infty[/mm] monoton steigend gegen ... ?
Also kannst du ihn abschätzen gegen? Damit und mit der (IV) bist du schnell am Ziel ...
> Bernoulli darf ich
> hier ja nicht verwenden da damit nichts bewiesen wäre...
> (Ungleichheitszeichen falsch herum.) Kann mir jemand da
> helfen und erklären wie ich damit die b Abschätzen soll?
> Hilfe wäre sehr gut, morgen ist Abgabe :/
>
> Danke im Vorraus
Ein "r" genügt vollkommen ...
> Simon
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Mi 08.12.2010 | | Autor: | Sedaka |
Das ist die eulersche Zahl in der Form ihrer Folge für n gegen [mm] \infty [/mm] aber kann ich in dieser Ungleichung es einfach als e schreiben? Schließlich soll der Beweis ja für alle n gelten.
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Hallo nochmal,
> Das ist die eulersche Zahl in der Form ihrer Folge für n
> gegen [mm]\infty[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Die Folge [mm]\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right\}_{n=1}^{\infty}[/mm] konvergiert sogar monoton steigend gegen [mm]e[/mm]
Also [mm]\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\le e[/mm]
> aber kann ich in dieser Ungleichung es einfach
> als e schreiben?
Ja!
> Schließlich soll der Beweis ja für alle
> n gelten.
Dazu machst du ja die Induktion, du schätzt doch bloß im Induktionsschritt diesen Teil so ab (die Abschätzung gilt ja im Übrigen auch für alle [mm]n[/mm], denn die Folge steigt ja monoton!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Mi 08.12.2010 | | Autor: | Sedaka |
Kannst du mir vielleicht auch bei Aufgabenteil b helfen? Ich habe jedes Verfahren benutzt was ich kenne (Quotienten, Wurzel, Minoranden, Majoranden) aber nie komme ich auf ein Ergebnis, mit dem ich etwas anfangen kann.
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Hallo nochmal,
> Kannst du mir vielleicht auch bei Aufgabenteil b helfen?
> Ich habe jedes Verfahren benutzt was ich kenne (Quotienten,
> Wurzel, Minoranden, Majoranden) aber nie komme ich auf ein
> Ergebnis, mit dem ich etwas anfangen kann.
Aufgabenteil a) wird wohl nicht umsonst gewesen sein, nur um dich zu ärgern ...
Benutze a) in Verbindung mit dem Vergleichskriterium (Majoranten-/Minorantenkrit.)
Gruß
schachuzipus
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