Induktionsbeweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Mi 15.12.2010 | | Autor: | Hugo19 |
hallu zusammen, ich habe ein Problem mit folgender Induktion:
[mm] \summe_{i=1}^{n}({n^2} [/mm] – n – 1 + 2i)
--> ich möchte nun beweisen dass die Funktion auch für n + 1 gilt, also muss ich doch einfach, alle n durch (n + 1) ersetzen und aus 2i wird dann 2(n + 1) oder??? Komme aber wenn ich das mache nicht auf das richtige Endergebnis...
Hab ich da etwas missverstanden? Vielen Dank schonmal für eure Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:58 Mi 15.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hugo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Du musst uns schon verraten, wie die zu beweisende Behauptung lautet. hier ist bisher nur ein Summenterm (und keine Gleichung!) zu erkennen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:13 Mi 15.12.2010 | | Autor: | Hugo19 |
Also die Aufgabe heißt einfach"Beweise durch Induktion folgende Gleichung: [mm] \summe_{i=1}^{n}({n^2}-n-1+2i) [/mm] = [mm] {n^3}
[/mm]
Sorry hatte ich vergessen 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Mi 15.12.2010 | | Autor: | Hugo19 |
okay ich soll also alles außer 2i ersetzen das wäre ja dann das folgende --> [mm] \summe_{i=1}^{n}(2i)+ [/mm] {(n + [mm] 1)^2} [/mm] - (n + 1) - 1?Und normalerweise muss ich doch dann einfach nur dazu dann [mm] {n^3} [/mm] addieren und das ganze ausrechnen. Aber was ist dann mit dem 2i??? Das Endergebnis soll ja {(n + [mm] 1)^3^} [/mm] lauten, irgendwie muss das i bzw. das 2i ja doch durch irgendwas ersetzt werden, oder? Das ist mein einziges Problem bei der Aufgabe, der Rest läuft ja ganz normal....
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Hallo Hugo,
der Witz bei einer Induktion über n ist im Induktionsschritt normalerweise, dass man n durch n+1 ersetzt.
In Deinem Fall ist das auch so (also z.B. auch beim Ziel der Summation, oben auf der Summe!). Das i aber ist doch nur die Laufvariable der Summe. Vielleicht liegt da das Problem, dass Du die Summenschreibweise noch nicht verstanden hast.
Kannst Du mal [mm] \summe_{i=1}^{3}i+\summe_{i=1}^{4}n+\summe_{i=1}^{n}x [/mm] ausrechnen?
Dann ist vielleicht leichter zu sehen, wo es hängt. Die Aufgabe ist definitiv nicht schwierig.
Grüße
reverend
PS: Es sieht nicht so aus, aber diese Rückfrage ist zugleich eine Antwort...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Mi 15.12.2010 | | Autor: | Hugo19 |
hm das wäre doch dann 1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 3 + 4 + 1 + 2 ...+ n oder?? Also das was oben auf dem Zeichen steht gibt immer an bis zu welchem Punkt addiert wird, wenn ich das richtig verstanden habe... Bin mir aber nicht sicher wie mir das bei meiner Aufgabe helfen soll....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 Mi 15.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, reverend hat deinen Irrtum erkannt:
[mm]\summe_{i=1}^{4} k=k+k+k+k=4k[/mm]
[mm]\summe_{i=1}^{n} n=n+n+n+...+n=n*n[/mm]
kommst du jetzt weiter?
und musst du das mit vollst Induktion zeigen oder geht es auch direkt, das ist eigentlich einfacher.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Mi 15.12.2010 | | Autor: | Hugo19 |
ah, okay dann wäre das Ergebnis von [mm] \summe_{i=1}^{3}i+\summe_{i=1}^{4}n+\summe_{i=1}^{n}x [/mm] also 3*i + 4*n + n*x oder? Aber irgendwie versteh ich einfach nicht was das mit der ursprünlichen Aufgabe zu tun hat, tut mir leid, steh irgendwie völlig auf dem Schlauch :-(
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Achtung, du musst aufpassen, welche Indizes unter der Summe stehen:
[mm] $\summe_{i=1}^{3}i=1+2+3=6$
[/mm]
ist nicht das gleiche wie:
[mm] $\summe_{i=1}^{3}n=n+n+n=3n$
[/mm]
mfg,
Michael
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Mi 15.12.2010 | | Autor: | Hugo19 |
Und was davon war jetzt richtig? Stand doch beide mal dasselbe drunter
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Guten Abend,
es sind beide Rechnungen richtig, denn es gibt einen kleinen Unterschied, den Du wahrscheinlich übersehen hast:
$ [mm] \summe_{i=1}^{3}i=1+2+3=6 [/mm] $
Hier steht das i sowohl hinter dem Sigma als auch im Index, es kommt sozusagen "1 einziger Buchstabe vor"
$ [mm] \summe_{i=1}^{3}n=n+n+n=3n [/mm] $
Hier steht ein n hinter dem Sigma und das i im Index, es kommen sozusagen "2 verschiedene Buchstaben vor".
Bei der 1.Rechnung musst Du alle Zahlen ab der Anfangszahl unter dem Sigma bis zur Endzahl über dem Sigma addieren.
Bei der 2. Rechnung musst n mit der Zahl über dem Sigma multiplizieren.
Ist das verständlich oder ist meine Erklärung zu kompliziert?
Viele Grüße
Asymptote
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:23 Mi 15.12.2010 | | Autor: | Hugo19 |
ach, jetzt hab ichs kapiert, danke kannst du mir jetzt noch sagen wie ich dass dann in meiner Aufgabe (erster Post in diesem Thema) löse, da hab ich dann ja sowohl n als auch i hinter dem Summenzeichen stehen.. sorry dass ich mich so doof anstelle
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:53 Do 16.12.2010 | | Autor: | Hugo19 |
kann mir bitte bitte irgendjeman helfen? Wär echt lieb :)
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Hallo Hugo,
Du solltest Dir echt noch mal ansehen, wie das mit den Summen geht.
Da läuft eine Variable (die unter der Summe angegeben wird) von einem Anfangswert (ebenfalls unter der Summe) bis zu einem Endwert, der über der Summe steht.
Hinter der Summe steht dann das, was summiert wird. Es kann, muss aber nicht von der Laufvariablen abhängen. Deswegen meine Probeaufgaben; nur um zu sehen, ob Du überhaupt lesen kannst, was Du da schreibst.
Es hilft übrigens erheblich, wenn man ein bisschen programmieren kann und verstanden hat, wie Schleifen (loops) funktionieren. So eine Summe ist eigentlich genau das. Die Produktschreibweise funktioniert genauso.
Praktischerweise hängt der jeweils folgende Summand nicht vom vorigen ab. Man könnte also auch sagen, dass hinter der Summe eine Folge steht, die explizit formuliert ist - also vor allem nicht rekursiv.
[mm] \summe_{p=5}^{9}p=5+6+7+8+9
[/mm]
[mm] \summe_{q=0}^{1}q^2+2p=(0^2+2p)+(1^2+2p)=4p+1
[/mm]
Bei Deiner Aufgabe wird nun folgendes behauptet:
> [mm] \summe_{i=1}^{n} (n^{2} -n-1+2i)=n^3
[/mm]
Für n=1 heißt das, dass i nur den Wert 1 "durchläuft" (da läuft ja eigentlich nichts...), also:
[mm] 1^2-1-1+2*1=1^3
[/mm]
Ok, das stimmt.
Nun willst Du die eigentliche Induktion angehen. Der Induktionsanfang stimmt (s.o., für n=1).
Die Induktionsvoraussetzung ist nun, dass es ein bestimmtes n gibt, für das die Behauptung stimmt. Zu zeigen ist, dass sie dann auch für n+1 stimmt.
Dazu muss man ja irgendwie mit beiden Seiten der Gleichung geschickt agieren, so dass man unter Verwendung eines anderen Weges als dem der Behauptung zeigen kann, dass die Behauptung auch für n+1 richtig ist.
Ok, fangen wir mal an. Betrachten wir den Fall n+1:
[mm] \summe_{i=1}^{\blue{n+1}}\cdots
[/mm]
i bleibt gleich. i ist ja nur eine temporäre Variable und wird während der Summation immer um 1 erhöht. Das einzige, was sich ändert, ist das Laufziel: jetzt n+1 statt vorher n. Weiter:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1}((\blue{n+1})^2-(\blue{n+1})-1+2i)=\cdots
[/mm]
Auch im Summationsterm wird n durch n+1 ersetzt.
Die ganze Summe müssen wir nun irgendwie zurückführen auf den schon bekannten Fall n. Ich multipliziere mal aus und ordne alles, was zum bisherigen Term [mm] (n^2-n-1+2i) [/mm] gehört, nach links und den Rest nach rechts. Zum leichteren Nachverfolgen in zwei Rechenschritten:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1}((n+1)^2-(n+1)-1+2i)=\summe_{i=1}^{n+1}((n^2+2n+1)-(n+1)-1+2i)=\summe_{i=1}^{n+1}(\green{(n^2-n-1+2i)}+2n)
[/mm]
Die Schreibweise der Summe ist bei allen Umformungen gleich geblieben. Umgeformt wurde nur der Summationsterm. Eigentlich hätte man hier auch das Summenzeichen streichen können, die Umformung hätte ja immer noch gestimmt. Der grüne Term ist der, den wir für den Fall n schon hatten.
Nun läuft aber die Summe nicht bis n, sondern bis n+1. Man kann sie aber nur bis n laufen lassen, muss dann aber den Summationsterm für i=n+1 noch hinzufügen. Um Unklarheiten zu vermeiden, ziehe ich diesen separierten Summationsterm vor die Summe:
[mm] \green{\summe_{i=1}^{n+1}((n+1)^2-(n+1)-1+2i)=\cdots=\summe_{i=1}^{n+1}((n^2-n-1+2i)+2n)}=\blue{(n^2-n-1+2*(n+1)+2n}+\summe_{i=1}^{\blue{n}}((n^2-n-1+2i)+2n)
[/mm]
Der grüne Teil ist nur die Wiederholung der Rechenschrite vorher. Der große blaue Term ist der Summationsterm von vorher für i=n+1. Darum ist der Zielindex über der Summe nun aber auf n reduziert.
Als nächstes zerpflücken wir die Summe in den Teil mit dem bekannten Term (das, was wir voraussetzen) und das überschüssige 2n und schreiben das als zwei Summen. Aus Bequemlichkeit werde ich die 2 aus dem Term 2n gleich mal ausklammern und vor die zweite Summe schreiben:
[mm] \green{\summe_{i=1}^{n+1}((n+1)^2-(n+1)-1+2i)=\cdots=(n^2-n-1+2*(n+1)+2n+\summe_{i=1}^{n}((n^2-n-1+2i)+2n)}=(n^2-n-1+2(n+1)+2n+\blue{\summe_{i=1}^{n}(n^2-n-1+2i)}+2*\summe_{i=1}^{n}n
[/mm]
Grün wieder von vorher. Die blaue Summe ist gerade die, die wir als bekannt voraussetzen. Ihr darf man also den Wert [mm] n^3 [/mm] zuweisen.
Die letzte Summe ist einfach. Da wird n-mal der Wert n addiert, sie ergibt also [mm] n*n=n^2. [/mm] Damit folgt:
[mm] \green{\summe_{i=1}^{n+1}((n+1)^2-(n+1)-1+2i)=\cdots=(n^2-n-1+2(n+1)+2n+\summe_{i=1}^{n}(n^2-n-1+2i)+2*\summe_{i=1}^{n}n}=n^2+3n+1+\blue{n^3+2n^2}
[/mm]
Grün bekannt. Blau nur eingesetzt, wie vorher angekündigt.
Und damit:
[mm] \green{\summe_{i=1}^{n+1}((n+1)^2-(n+1)-1+2i)=\cdots=n^2+3n+1+n^3+2n^2}=n^3+3n^2+3n+1=(n+1)^3
[/mm]
Tja, und am Ende muss man nur noch die binomische Formel dritten Grades kennen oder rekonstruieren können.
Damit ist die Induktion gelungen. Die Behauptung gilt für n=1 und für jede danach folgende natürliche Zahl.
So, das war jetzt ausnehmend detailliert. Ich hoffe, Du hast keine Rückfragen mehr. 
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:42 Sa 18.12.2010 | | Autor: | Hugo19 |
Vielen vielen Dank!!!! Ich habs (endlich) kapiert :) Danke Danke Danke :) Haut ihr mich jetzt wenn ich sage, so schwer ist es eigentlich gar nicht? :-D
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Nein. Der Term $2*i_$ bleibt unverändert.
