Induktionsbeweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Di 05.03.2013 | | Autor: | narcotik |
| Aufgabe | | sn= [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{(k+1)(k+2)(k+3)} [/mm] für n [mm] \in \IN [/mm] |
Hi, obige Reihe ist gegeben, bewiesen werden soll dass diese gleich folgender Reihe ist:
sn= [mm] \bruch{1}{24}\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^4} [/mm] für n [mm] \in \IN
[/mm]
Gibt es eine einfache Möglichkeit das OHNE ausprobieren zu beweisen? Ich kenne den Induktionsbeweis zwar, weiß aber nicht ob bzw. wie man den hier mit einem Summenzeichen verwendet? Ich kenne das nur so dass man einfach sn = n(n+1) gegeben hat, zum Beispiel, und diese Folge dann mit dem Induktionsbeweis beweist.
Vielen Dank schon mal für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:31 Di 05.03.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo narcotik!
Selbstverständlich kann man auch hier mit Summenzeichen die Methode der vollständigen Induktion anwenden. Es ist gar ein ziemlich klassischer Anwendungsbereich für Induktion.
Und "ausprobieren" kann nie ein Beweis sein, höchstens eine hilfe beim Erstellen einer Behauptung.
Nach Induktionsanfang und Induktionsvoraussetzung (das überlasse ich mal Dir) musst Du im Induktionsschritt zeigen:
[mm]\summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{(k+1)*(k+2)*(k+3)} \ = \ \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{(k+1)*(k+2)*(k+3)}+\bruch{1}{(n+2)*(n+3)*(n+4)} \ = \ ... \ = \ \bruch{1}{24}*\left[\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^4}+\bruch{1}{(n+1)^4}\right] \ = \ \bruch{1}{24}*\summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{k^4}[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Di 05.03.2013 | | Autor: | narcotik |
Hi, Loddar!
Ich danke dir vielmals für deine Antwort und entschuldige mich für mein flapsiges "Beweisen durch ausprobieren" :D
Für mich entsteht hier folgendes Problem, dass ich nicht gelöst kriege:
Ich kenne den Induktionsschritt bei dem einfachen Beweis wie z.B. der Gauß'schen Formel:
[mm] \summe_{i=1}^{n}i [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)}{2} [/mm]
Induktionsanfang durch 1 einsetzen läuft, auf beiden Seiten steht eine eins. Jetzt forme ich um bzw. setze den rechten Term statt meines Summenzeichens ein und führen den Induktionsschluss/ -schritt durch:
[mm] \bruch{n(n+1)}{2} [/mm] + (n+1) = [mm] \bruch{(n+1)(n+2)}{2} [/mm]
Diese linke Seite kann ich ja nun sehr leicht so umformen, dass beide Seiten gleich sind. Was in meinen Kopf nun in der eigentlichen Aufgabenstellung nicht rein will ist, wie es zu handhaben ist, wenn auf beiden Seiten meiner Anfangsvermutung Summenzeichen stehen? Ich kenne es nur so dass die k's (bzw. i's) und auch die Summe wegfallen, und ich mich nur mit den n's bzw. n+1 herumschlagen muss. Ich hätte etwa als Induktionsschritt auch statt dem was du da stehen hast folgendes versucht:
$ [mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{(k+1)\cdot{}(k+2)\cdot{}(k+3)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{24}\cdot{}[\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^4}+\bruch{1}{(n+2)\cdot{}(n+3)\cdot{}(n+4)}] [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \bruch{1}{24}\cdot{}\left[\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^4}+\bruch{1}{(n+1)^4}\right] [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{24}\cdot{}\summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{k^4} [/mm] $
Und die zwei zwei Ausdrücke in der Mitte, bzw. den linken davon würde ich jetzt versuchen so umzuformen, dass er so aussieht wie der rechte. Ist das so richtig, oder habe ich das falsch verstanden?
Danke nochmals,
LG narcotik
PS: Hab die eine eckigen Klammern leider nicht groß bekommen :-/ Ohnehin finde ich es kompliziert hier vernünftig die Formeln hinzuschreiben :D
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Hallo,
> Für mich entsteht hier folgendes Problem, dass ich nicht
> gelöst kriege:
>
> Ich kenne den Induktionsschritt bei dem einfachen Beweis
> wie z.B. der Gauß'schen Formel:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}i[/mm] = [mm]\bruch{n(n+1)}{2}[/mm]
>
> Induktionsanfang durch 1 einsetzen läuft, auf beiden
> Seiten steht eine eins. Jetzt forme ich um bzw. setze den
> rechten Term statt meines Summenzeichens ein und führen
> den Induktionsschluss/ -schritt durch:
>
> [mm]\bruch{n(n+1)}{2}[/mm] + (n+1) = [mm]\bruch{(n+1)(n+2)}{2}[/mm]
Alles ok.
> Diese linke Seite kann ich ja nun sehr leicht so umformen,
> dass beide Seiten gleich sind.
> Was in meinen Kopf nun in
> der eigentlichen Aufgabenstellung nicht rein will ist, wie
> es zu handhaben ist, wenn auf beiden Seiten meiner
> Anfangsvermutung Summenzeichen stehen? Ich kenne es nur so
> dass die k's (bzw. i's) und auch die Summe wegfallen, und
> ich mich nur mit den n's bzw. n+1 herumschlagen muss.
Natürlich ist es einfacher, wenn keine Summen da sind 
Aber letztlich musst du auch dann nur schauen, dass alle "n" wieder zu "n+1" werden.
> Ich
> hätte etwa als Induktionsschritt auch statt dem was du da
> stehen hast folgendes versucht:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{(k+1)\cdot{}(k+2)\cdot{}(k+3)} \ = \ \bruch{1}{24}\cdot{}[\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^4}+\bruch{1}{(n+2)\cdot{}(n+3)\cdot{}(n+4)}] \ = \ ... \ = \ \bruch{1}{24}\cdot{}\left[\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^4}+\bruch{1}{(n+1)^4}\right] \ = \ \bruch{1}{24}\cdot{}\summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{k^4}[/mm]
Das ist so nicht ganz richtig, nach dem ersten Gleichheitszeichen müsste es lauten:
[mm] $\summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{(k+1)\cdot{}(k+2)\cdot{}(k+3)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{24}\cdot{}\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^4}+\bruch{1}{(n+2)\cdot{}(n+3)\cdot{}(n+4)}$
[/mm]
(Induktionsvoraussetzung wird nur auf ersten Teil der Summe angewandt, nur dort entsteht Vorfaktor 1/24)
> Und die zwei zwei Ausdrücke in der Mitte, bzw. den linken
> davon würde ich jetzt versuchen so umzuformen, dass er so
> aussieht wie der rechte. Ist das so richtig, oder habe ich
> das falsch verstanden?
Alles richtig. Allerdings glaube ich, dass die Aufgabe nicht stimmt. Setz doch zum Beispiel mal in der zu zeigenden Aussage n = 2 ein, oder n = 3, dann stimmt die Gleichheit gar nicht.
Du wirst das also auch nicht mit Induktion zeigen können.
> Danke nochmals,
>
> LG narcotik
>
> PS: Hab die eine eckigen Klammern leider nicht groß
> bekommen :-/
Geht mit dem Befehl " [mm] $\backslash [/mm] left$ " bzw. " [mm] $\backslash [/mm] right$ ".
> Ohnehin finde ich es kompliziert hier
> vernünftig die Formeln hinzuschreiben :D
Du machst das schon sehr gut
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:30 Mi 06.03.2013 | | Autor: | narcotik |
Ich möchte euch beiden meinen außerordentlichen Dank aussprechen! Ich schreibe morgen eine Klausur und habe es jetzt verstanden, Vielen Dank! (Ich hoffe ich bin hier richtig damit ;D)
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