Induktionsbeweis ? < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 So 15.09.2013 | | Autor: | starki |
| Aufgabe | Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum [mm] (\Omega, \mathcal{A}, [/mm] P) und Ereignisse [mm] A_1, A_2, [/mm] ... mit [mm] P(A_i) \ge [/mm] 1 - [mm] \epsilon_i [/mm] für alle i [mm] \ge [/mm] 1, wobei 0 [mm] \le e_i \le [/mm] 1. Zeigen Sie
[mm] P(\bigcap_{i \ge 1} A_i) \ge [/mm] 1 - [mm] \summe_{i \ge 1} \epsilon_i [/mm] |
Das ist eine Klausuraufgabe, an die ich mich jetzt mal gewagt habe. Also ich schätze mal, hier kommt n Induktionsbeweis dran oder ?
Ich hab mal so versucht anzufangen (als ein Beispiel um das richtig zu verstehen):
[mm] P(A_1) \ge [/mm] 1 - [mm] \epsilon_1
[/mm]
[mm] P(A_2) \ge [/mm] 1 - [mm] \epsilon_2
[/mm]
[mm] P(A_1 \cap A_2) [/mm] = [mm] P(A_1) [/mm] + [mm] P(A_2) [/mm] - [mm] P(A_1 \cup A_2)
[/mm]
[mm] \ge [/mm] (1 - [mm] \epsilon_1) [/mm] + (1 - [mm] \epsilon_2) [/mm] - [mm] P(A_1 \cup A_2) [/mm] =
1 - [mm] (\epsilon_1 [/mm] + [mm] \epsilon_2) [/mm] - [mm] P(A_1 \cup A_2).
[/mm]
So hätte ich jetzt angefangen. Nun wüsste ich aber nicht, was ich mit dem [mm] P(A_1 \cup A_2) [/mm] machen soll... Deswegen stehe ich grad hier ein wenig auf dem Schlauch ...
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> Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum [mm](\Omega, \mathcal{A},[/mm]
> P) und Ereignisse [mm]A_1, A_2,[/mm] ... mit [mm]P(A_i) \ge[/mm] 1 - [mm]\epsilon_i[/mm]
> für alle i [mm]\ge[/mm] 1, wobei 0 [mm]\le e_i \le[/mm] 1. Zeigen
> Sie
>
> [mm]P(\bigcap_{i \ge 1} A_i) \ge[/mm] 1 - [mm]\summe_{i \ge 1} \epsilon_i[/mm]
>
> Das ist eine Klausuraufgabe, an die ich mich jetzt mal
> gewagt habe. Also ich schätze mal, hier kommt n
> Induktionsbeweis dran oder ?
>
> Ich hab mal so versucht anzufangen (als ein Beispiel um das
> richtig zu verstehen):
>
> [mm]P(A_1) \ge[/mm] 1 - [mm]\epsilon_1[/mm]
> [mm]P(A_2) \ge[/mm] 1 - [mm]\epsilon_2[/mm]
>
> [mm]P(A_1 \cap A_2)[/mm] = [mm]P(A_1)[/mm] + [mm]P(A_2)[/mm] - [mm]P(A_1 \cup A_2)[/mm]
> [mm]\ge\ (1 - \epsilon_1) + (1 - \epsilon_2) - P(A_1 \cup A_2)[/mm] =
> 1 - [mm](\epsilon_1[/mm] + [mm]\epsilon_2)[/mm] - [mm]P(A_1 \cup A_2).[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Da hast du ja so rasch eine 1 "verschenkt" ...
> So hätte ich jetzt angefangen. Nun wüsste ich aber nicht,
> was ich mit dem [mm]P(A_1 \cup A_2)[/mm] machen soll... Deswegen
> stehe ich grad hier ein wenig auf dem Schlauch ...
Probier's mal mit der Aussage [mm]P(A_1 \cup A_2)\ \le\ 1[/mm] , die immer
gültig sein muss ...
Ach ja, noch eine Bemerkung zum Formeleditor:
Es genügt, wenn du eine ganze Formel (auf einer Zeile)
zwischen [mm] und [/mm] oder
zwischen Dollarsymbole $ und $ packst.
Du brauchst viel zu viele solcher Zeichen. Ich hoffe,
dir das Leben mit diesem Tipp etwas zu erleichtern ...
LG , Al-Chw.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:44 So 15.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo starki,
ist dir die Sub-Sigma-Additivität von Wahrscheinlichkeits-Maßen $P$ bekannt? Sie besagt
[mm] $P(\bigcup_{i\ge1}B_i)\le\sum_{i\ge1}P(B_i)$
[/mm]
für alle Folgen [mm] $B_1,B_2,B_3,\ldots$ [/mm] von Ereignissen.
Wenn dir das bekannt ist, empfiehlt es sich hier, mit Komplementen zu arbeiten.
(Bei vielen Problemen aus der Stochastik hilft es, zunächst zu schauen, ob man mit den gegebenen Ereignissen oder deren Komplementen besser arbeiten kann.)
Viele Grüße
Tobias
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