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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 Di 04.11.2008 | | Autor: | myo |
| Aufgabe 1 | Beweisen Sie, dass für alle [mm]n \in \IN[/mm] gilt:
(a) Für beliebiges [mm]a \in \IR[/mm] ist [mm](a-1){\summe_{k=0}^{n}a^k} = a^{n+1}-1[/mm] |
| Aufgabe 2 | Beweisen Sie, dass für alle [mm]n \in \IN[/mm] gilt:
(b)[mm]5^{n+1}+2*3^n+1[/mm] durch 8 teilbar ist |
Zu Aufgabe (a):
Induktionsanfang [mm]n=0[/mm]
[mm](a-1){\summe_{k=0}^{0}a^k} = (a-1)*a^0 = a-1[/mm]
[mm]a^{0+1}-1 = a-1[/mm]
Induktionsschrit [mm]n \to n+1[/mm]
Behauptung [mm](a-1){\summe_{k=0}^{n+1}a^k} = a^{(n+1)+1}-1[/mm]
Dann fange ich mit der linken Seite an:
[mm](a-1){\summe_{k=0}^{n+1}a^k} = (a-1){\summe_{k=0}^{n}a^k}+a^{n+1}[/mm]
Dann die Induktionsannahme einsetzen
[mm]= a^{n+1}-1+a^{n+1} = 2a^{n+1}-1[/mm]
Wie komme ich mit dem Ergebnis nun auf [mm]a^{n+2}-1[/mm], welches die rechte Seite ist, um die Aussage zu beweisen oder habe ich schon irgendwo in der Rechnung einen Fehler gemacht?
Zu Aufgabe (b):
Induktionsanfang [mm]n=0[/mm]
[mm]5^{0+1}+2*3^0+1 = 5+2+1 = 8[/mm]
Induktionsschritt [mm]n \to n+1[/mm]
[mm]5^{(n+1)+1}+2*3{n+1}+1[/mm]
[mm]= 5^{n+2}+2*3^{n+1}+1[/mm]
[mm]= 5^{n+1}*5+2*3^n*3+1[/mm]
[mm]= 5^{n+1}+5^{n+1}*4+2*3^n+2*3^n*2+1[/mm]
[mm]= (5^{n+1}+2*3^n+1)+(5^{n+1}*4+2*3^n*2)[/mm]
Nun seh ich hier ja schön meine Induktionsannahme und ich weiss auch das ich den Rest nun noch irgendwie auf ein vielfaches von 8 bringen muss oder eben zeigen muss und dann wüsste ich ja das die Formel stimmt und alle solche Zahlen durch 8 teilbar sind. Aber ich komme einfach nicht drauf was ich mit dem Rest der nicht mehr zur Induktionsannahme gehört machen muss oder wie ich ihn umformen/ergänzen soll um zu zeigen das es ein vielfaches von 8 ist.
Würde mich freuen, wenn mir jemand bei meinen Fragen weiterhelfen könnte
Gruss
Martin
Ich habe diese Frage in keinen anderen Foren und auf keinen anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:28 Di 04.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Martin!
Du hast eine Klammer vergessen. Es muss heißen:
[mm] $$(a-1)*\summe_{k=0}^{n+1}a^k [/mm] \ = \ [mm] (a-1)*\red{\left(}\summe_{k=0}^{n}a^k+a^{n+1}\red{\right)} [/mm] \ = \ ...$$
Nun diese Klammern ausmultiplizieren ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:41 Di 04.11.2008 | | Autor: | myo |
Ah, stimmt.. Das hab ich wohl irgendwie übersehen im Eifer.
So komm ich nun auch auf das gleiche Ergebnis auf beiden Seiten.
Danke
Gruss
Martin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:09 Di 04.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beweisen Sie, dass für alle [mm]n \in \IN[/mm] gilt:
>
> (a) Für beliebiges [mm]a \in \IR[/mm] ist [mm](a-1){\summe_{k=0}^{n}a^k} = a^{n+1}-1[/mm]
musst Du das wirklich mit Induktion machen? Ich würde es so zeigen:
[mm] $$(a-1){\summe_{k=0}^{n}a^k}=\left(\sum_{k=0}^n a^{k+1}\right)-\summe_{k=0}^{n}a^k=\left(\sum_{m=1}^{n+1} a^{m}\right)-\summe_{k=0}^{n}a^k=\left(\sum_{m=1}^{n} a^{m}\right)+a^{n+1}-\left(\underbrace{a^0}_{=1}+\summe_{k=1}^{n}a^k\right)=a^{n+1}-1\,.$$
[/mm]
> Beweisen Sie, dass für alle [mm]n \in \IN[/mm] gilt:
>
> (b)[mm]5^{n+1}+2*3^n+1[/mm] durch 8 teilbar ist
> Zu Aufgabe (a):
>
> Induktionsanfang [mm]n=0[/mm]
>
> [mm](a-1){\summe_{k=0}^{0}a^k} = (a-1)*a^0 = a-1[/mm]
> [mm]a^{0+1}-1 = a-1[/mm]
>
>
> Induktionsschrit [mm]n \to n+1[/mm]
> Behauptung
> [mm](a-1){\summe_{k=0}^{n+1}a^k} = a^{(n+1)+1}-1[/mm]
> Dann fange
> ich mit der linken Seite an:
>
> [mm](a-1){\summe_{k=0}^{n+1}a^k} = (a-1){\summe_{k=0}^{n}a^k}+a^{n+1}[/mm]
>
> Dann die Induktionsannahme einsetzen
> [mm]= a^{n+1}-1+a^{n+1} = 2a^{n+1}-1[/mm]
>
> Wie komme ich mit dem Ergebnis nun auf [mm]a^{n+2}-1[/mm], welches
> die rechte Seite ist, um die Aussage zu beweisen oder habe
> ich schon irgendwo in der Rechnung einen Fehler gemacht?
>
> Zu Aufgabe (b):
>
> Induktionsanfang [mm]n=0[/mm]
> [mm]5^{0+1}+2*3^0+1 = 5+2+1 = 8[/mm]
Passt also.
> Induktionsschritt [mm]n \to n+1[/mm]
> [mm]5^{(n+1)+1}+2*\blue{3^{n+1}}+1[/mm]
> [mm]= 5^{n+2}+2*3^{n+1}+1[/mm]
> [mm]= 5^{n+1}*5+2*3^n*3+1[/mm]
> [mm]= 5^{n+1}+5^{n+1}*4+2*3^n+2*3^n*2+1[/mm]
>
> [mm]= (5^{n+1}+2*3^n+1)+(5^{n+1}*4+2*3^n*2)[/mm]
>
> Nun seh ich hier ja schön meine Induktionsannahme und ich
> weiss auch das ich den Rest nun noch irgendwie auf ein
> vielfaches von 8 bringen muss oder eben zeigen muss und
> dann wüsste ich ja das die Formel stimmt und alle solche
> Zahlen durch 8 teilbar sind. Aber ich komme einfach nicht
> drauf was ich mit dem Rest der nicht mehr zur
> Induktionsannahme gehört machen muss oder wie ich ihn
> umformen/ergänzen soll um zu zeigen das es ein vielfaches
> von 8 ist.
>
>
> Würde mich freuen, wenn mir jemand bei meinen Fragen
> weiterhelfen könnte
Edit: Tipp: [mm] $(5^{n+1}*4+2*3^n*2)=4*(5^{n+1}+3^n)\,.$ [/mm] Beachte nun, dass [mm] $(5^{n+1}+3^n)$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] gerade ist. (Warum?)
Mhm, ja, das ist wohl ein wenig ungünstig. Ich mache im Induktionsschritt mal folgendes:
[mm] $$5^{n+2}+2*3^{n+1}+1=5^{n+1}+2*3^n+1+K(n)\,$$
[/mm]
wobei [mm] $\black{K(n)}$ [/mm] ein noch zu bestimmender Korrekturterm sei. Dann gilt:
[mm] $K(n)=5^{n+2}+2*3^{n+1}+1-(5^{n+1}+2*3^n+1)$
[/mm]
und damit
[mm] $$K(n)=4*(5^{n+1}+3^n)\,.$$
[/mm]
Siehst Du, wie es weitergeht?
Edit:Ach, ich habe ja nichts neues getan ^^ Wichtig: Beachte den in grün geschriebenen Tipp und Du bist fertig. (Insgesamt wegen des Distributivgesetz.)
(Ich behaupte mal, dass [mm] $5^{n+1}+3^n$ [/mm] für jedes $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] gerade ist.)
P.S.:
Auch b) könnte man anders lösen:
Man schreibt einfach $5=4+1$ und $3=2+1$ und wendet dann die bin. Formel an.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Di 04.11.2008 | | Autor: | myo |
Hmm.. also das [mm](5^{n+1}+3^n)[/mm] gerade ist sehe ich. Das kann man ja auch über Induktion beweisen.
Ich sehe nun auch das alle Zahlen welche der Therm [mm]4*(5^{n+1}+3^n)[/mm] erzeugt durch 8 teilbar sind. Nur wie beweise ich das nun formal?
Gruss
Martin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Di 04.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hmm.. also das [mm](5^{n+1}+3^n)[/mm] gerade ist sehe ich. Das kann
> man ja auch über Induktion beweisen.
naja, das braucht man nun nicht wirklich, wenngleich meine folgende Argumentation natürlich prinzipiell auch nichts anderes ist. Ich würde kurz schreiben: [mm] $3^0=1$ [/mm] ist ungerade und [mm] $3^n$ [/mm] ist für $n [mm] \in \IN$ [/mm] (mit $0 [mm] \notin \IN$) [/mm] als Produkt ungerader Zahlen wieder ungerade.
Ebenso ist [mm] $5^{n+1}$ [/mm] als Produkt ungerader Zahlen stets ungerade (für $n [mm] \in \IN_0\,.$) [/mm] Die Summe zweier ungerader Zahlen ist dann eine gerade Zahl.
(Das ist alles Basiswissen. Man beweist das vll. zu Beginn der Analysisvorlesungen, indem man zunächst definiert:
[mm] $\{\text{ungerade ganze Zahlen}\}:=\{2k-1;\; k \in \IZ\}$ [/mm] und [mm] $\{\text{gerade ganze Zahlen}\}:=\{2k;\; k \in \IZ\}$
[/mm]
Damit lassen sich die Aussagen (relativ leicht) beweisen.)
> Ich sehe nun auch das alle Zahlen welche der Therm
> [mm]4*(5^{n+1}+3^n)[/mm] erzeugt durch 8 teilbar sind. Nur wie
> beweise ich das nun formal?
Naja, die obige Argumentation zeigt, dass [mm] $5^{n+1}+3^n$ [/mm] für jedes $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] eine gerade Zahl ist. Also existiert zu $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] ein $k=k(n) [mm] \in \IN_0$ [/mm] so, dass [mm] $5^{n+1}+3^n=2*k\,.$
[/mm]
Es folgt sodann
[mm] $$4*(5^{n+1}+3^n)=8*k$$
[/mm]
wobei $k [mm] \in \IN_0$ [/mm] war. Und damit bist Du fertig.
Gruß,
Marcel
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