Induktiv dann wenn - Beweis < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Hinweis: Die folgende Aufgabe wurde schon in diesem Forum ansatzweise diskutiert - allerdings brachten diese Diskussionen keine Lösung hervor, die ich nutzen kann. Daher präsentiere ich meinen eigenen Ansatz und hoffe, dass dieser richtig ist.
folgende Aufgabe:
Es seien A, B Mengen und:
[mm] f\; :\; A\; -->\; [/mm] B
eine Abbildung. Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:
a) f ist injektiv
b) Für alle C [mm] \subset [/mm] A gilt:
[mm] f^{-1}\left( f\left( \mbox{C} \right) \right)\; =\; \mbox{C}
[/mm]
Die Aufgabe hat noch weitere Aussagen, deren Äquivalenz auch gezeigt werden soll. Ich möchte mich hier aber nur zeigen, dass aus a - b folgt. Bevor ich meinen Ansatz in mathematischer Schreibweise verdeutliche hier mein Ansatz in vollst. Sätzen:
Zu zeigen ist, dass aus Aussage a genau dann wahr, wenn auch Aussage b wahr ist.
Nochmal die Definition von Injektivität: f ist injektiv, falls gleiche Bilder gleiche Urbilder haben.
Aussage b bedeutet ja folgendes:
Für alle Teilmengen (C) des Definitionsbereiches A gilt, dass:
[mm] f^{-1}\left( f\left( \mbox{C} \right) \right)\; =\; \mbox{C}
[/mm]
Jetzt nehme ich diese "Gleichung" mal auseinander:
[mm] f\left( \mbox{C} \right) [/mm] ist das Bild von C - das Bild von C ist eine Menge deren Elemente alle in B liegen. Das Bild von C ist also eine Teilmenge von B.
Nun wird mit:
[mm] f^{-1}\left( f\left( \mbox{C} \right) \right)
[/mm]
f hoch minus eins auf das Bild von C (einer Teilmenge von B) angewandt. f hoch minus eins vom Bild von C liefert eine Menge von Elementen, die Element vom Bild von C sind, falls man auf sie die Abbildungsvorschrift f anwendet. Diese Menge ist eben nur dann identisch mit C, falls die Abbildung injektiv ist, da das Resultat von:
[mm] f^{-1}\left( f\left( \mbox{C} \right) \right)
[/mm]
nur dann C sein kann, falls gleiche Bilder auch gleiche Urbilder haben.
Stimmt diese Argumentation und dieser Gedankengang? Ist dies so die gängige Beweisführung?
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Hallo,
wenn ich nichts mißverstanden habe, denkst Du richtig für a) ==> b).
Für den Beweis behandle unbedingt beide Richtungen getrennt.
Gruß v. Angela
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Hallo,
danke erstmal.
Du schreibst: "Für den Beweis behandle unbedingt beide Richtungen getrennt."
Ich hätte vielleicht noch erwähnen sollen, dass es noch weitere Aussagen gibt, deren Äquivalenz man in diesem Zusammenhang zeigen soll. Dies wollte ich mit dem Ringschlussverfahren tun. a ==> b ==> c ==> a. Damit habe ich ja "beide" Richtungen abgedeckt - sobald ich dies gezeigt habe - richtig?
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Die Inklusion C [mm] \subset f^{-1}(f(C)) [/mm] gilt immer.
Beweis:
[mm] "\supset" [/mm] Sei x [mm] \in [/mm] C => f(x) [mm] \in [/mm] f(C) => x [mm] \in f^{-1}(f(C))
[/mm]
Nun die andere Richtung:
[mm] "\subset" [/mm] Sei x [mm] \in f^{-1}(f(C)) [/mm] => f(x) [mm] \in [/mm] f(C) => [mm] \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] C mit f(y) = f(x).
Da nun f injektiv ist, folgt : x=y. Weil y [mm] \in [/mm] C war, ist auch x [mm] \in [/mm] C. [mm] \Box
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:35 So 04.11.2007 | | Autor: | abi2007LK |
Danke Dir.
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