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Infimum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:36 Sa 16.05.2015
Autor: Fry

Hallo

Es gilt ja

[mm]\inf_{1\le n\le m}x_n>k \gdw x_1>k, x_2>k,...,x_m>k[/mm]

Aber gilt denn
auch

[mm]\inf_{n\in \mathbb N}x_n>k \gdw x_n>k \forall n\in\mathbb N[/mm]  ?

(Bzw falls ja,warum?)

Viele Grüße
Fry
 

        
Bezug
Infimum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:52 Sa 16.05.2015
Autor: statler

Hi!

> Es gilt ja
>  
> [mm]\inf_{1\le n\le m}x_n>k \gdw x_1>k, x_2>k,...,x_m>k[/mm]

Ja, in diesem Fall ist ja das Infimum das Minimum.

>  
> Aber gilt denn
>  auch
>  
> [mm]\inf_{n\in \mathbb N}x_n>k \gdw x_n>k \forall n\in\mathbb N[/mm] 

Eher nicht! Nimm einfach [mm] x_n [/mm] = 1/n und k = 0.

Gruß aus HH
Dieter

Bezug
                
Bezug
Infimum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:38 Sa 16.05.2015
Autor: Fry

Hey Dieter,

vielen Dank für die Erhellung :)

VG
Fry

Bezug
                
Bezug
Infimum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:56 Mo 18.05.2015
Autor: Fry

Hallo,

wenn ich jetzt > durch [mm] "\ge" [/mm] ersetze, stimmt dann die Aussage gilt? Gilt also

$ [mm] \inf_{n\in\mathbb N}x_n\ge [/mm] t [mm] \gdw x_n\ge [/mm] t [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \mathbb [/mm] N$

Viele Grüße
Fry

Bezug
                        
Bezug
Infimum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:30 Mo 18.05.2015
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> wenn ich jetzt > durch [mm]"\ge"[/mm] ersetze, stimmt dann die
> Aussage gilt? Gilt also
>  
> [mm]\inf_{n\in\mathbb N}x_n\ge t \gdw x_n\ge t \forall n \in \mathbb N[/mm]
>  

Klar doch:

1. ist [mm] inf_{n\in\mathbb N}x_n\ge [/mm] t, so ist t [mm] \le x_n [/mm] für alle n.

2. ist t [mm] \le x_n [/mm] für alle n, so ist t eine untere Schranke von [mm] \{x_n:n \in \IN\}. [/mm] Es folgt

[mm] inf_{n\in\mathbb N}x_n\ge [/mm] t.


FRED


> Viele Grüße
>  Fry


Bezug
        
Bezug
Infimum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:27 Mo 18.05.2015
Autor: fred97


> Hallo
>  
> Es gilt ja
>  
> [mm]\inf_{1\le n\le m}x_n>k \gdw x_1>k, x_2>k,...,x_m>k[/mm]
>  
> Aber gilt denn
>  auch
>  
> [mm]\inf_{n\in \mathbb N}x_n>k \gdw x_n>k \forall n\in\mathbb N[/mm] 
> ?

Dieter hat sich geirrt. Die Anwort ist "ja".

Sei [mm] m=\inf_{n\in \mathbb N}x_n. [/mm] Dann ist m [mm] \le x_n [/mm] für alle n. Wegen k<m ist dann auch k< [mm] x_n [/mm] für alle n.

FRED

>  
> (Bzw falls ja,warum?)
>  
> Viele Grüße
>  Fry
>   


Bezug
                
Bezug
Infimum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:47 Mo 18.05.2015
Autor: Fry

Hey Fred,

danke schön!
Aber wie schaut es denn mit der Rückrichtung aus?

Da sagt doch das Beispiel von Dieter, dass es nicht funktioniert.

Vg,
Fry

Bezug
                        
Bezug
Infimum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:43 Mo 18.05.2015
Autor: fred97


> Hey Fred,
>  
> danke schön!
>  Aber wie schaut es denn mit der Rückrichtung aus?
>  
> Da sagt doch das Beispiel von Dieter, dass es nicht
> funktioniert.

Ja, da hast Du recht. Ich hab nicht genau hingesehen.

FRED

>  
> Vg,
>  Fry


Bezug
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