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| Aufgabe | | Bestimmen Sie das Infimum der Menge C:= [mm] \{ \bruch{\sqrt{x+y}}{xy}: x,y \in \IR, x,y \ge 1 \} \subset \IR. [/mm] |
Hallo!
Das ist eine Übungsaufgabe in einem Buch und dazu gibt es an sich auch eine Lösung, aber ich verstehe einen Zwischenschritt nicht. Daher beschreibe ich mal den Lösungsweg:
0 ist eine untere Schranke von C, nun soll gezeigt werden, dass es auch ein Infimum ist:
Sei dazu 0 < d < 1. Nun soll 0 + d [mm] \le \bruch{\sqrt{x+y}}{xy} [/mm] zum Widerspruch geführt werden.
Dafür wird angenommen, dass x = y = [mm] \bruch{2}{d^2} [/mm] > 1
Dies wird eingesetzt und es ergibt sich:
d < [mm] \bruch{d^3}{2} [/mm] < [mm] d^3 [/mm] < d
Dies ist ein Widerspruch und daher ist 0 Infimum.
Mir ist nicht klar, wie man auf x = y = [mm] \bruch{2}{d^2} [/mm] kommt!
Kann mir da jemand einen Tipp geben?
Das wäre super!
Liebe Grüße, Lily
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:00 Di 24.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie das Infimum der Menge C:= [mm]\{ \bruch{\sqrt{x+y}}{xy}: x,y \in \IR, x,y \ge 1 \} \subset \IR.[/mm]
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> Hallo!
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> Das ist eine Übungsaufgabe in einem Buch und dazu gibt es
> an sich auch eine Lösung, aber ich verstehe einen
> Zwischenschritt nicht. Daher beschreibe ich mal den
> Lösungsweg:
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> 0 ist eine untere Schranke von C, nun soll gezeigt werden,
> dass es auch ein Infimum ist:
> Sei dazu 0 < d < 1. Nun soll 0 + d [mm]\le \bruch{\sqrt{x+y}}{xy}[/mm]
> zum Widerspruch geführt werden.
> Dafür wird angenommen, dass x = y = [mm]\bruch{2}{d^2}[/mm] > 1
> Dies wird eingesetzt und es ergibt sich:
> d < [mm]\bruch{d^3}{2}[/mm] < [mm]d^3[/mm] < d
> Dies ist ein Widerspruch und daher ist 0 Infimum.
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> Mir ist nicht klar, wie man auf x = y = [mm]\bruch{2}{d^2}[/mm]
> kommt!
Da muss man ein wenig tüfteln.
Zunächst versucht man sich das Leben angenehmer zu machen, indem man sich den Ausdruck [mm] \bruch{\sqrt{x+y}}{xy} [/mm] für x=y anschaut.
Man hat also angenommen, es gäbe ein d mit 0<d<1 und
d $ [mm] \le \bruch{\sqrt{x+y}}{xy} [/mm] $ für alle x,y mit x,y [mm] \ge [/mm] 1
Mit x=y wird daraus
d $ [mm] \le \bruch{\sqrt{2x}}{x^2} [/mm] $ für alle x [mm] \ge [/mm] 1.
Nun sucht man nach x [mm] \ge [/mm] 1, so, dass [mm] \bruch{\sqrt{2x}}{x^2}
Damit hat man einen Widerspruch.
FRED
> Kann mir da jemand einen Tipp geben?
> Das wäre super!
>
> Liebe Grüße, Lily
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:07 Di 24.05.2016 | | Autor: | Mathe-Lily |
Achso, das macht Sinn! Vielen Dank 
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