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| Aufgabe | Seien die reellen Konstanten [mm]u,c,t>0[/mm] und [mm] $\frac{1}{2}
[mm] \begin{equation}\nonumber
P\bigg\{\inf_{0\le s\le t^{2H}}\big(u+cs^{\frac{1}{2H}}+B(s)\big)<0 \bigg\}\;=\;P\bigg\{\inf_{s\ge t^{-2H}}\big(u+cs^{-\frac{1}{2H}}+B\left(\frac{1}s\right)\big)<0\bigg\}
\end{equation}. [/mm] |
Hallo,
die obige Gleichung habe ich aus einem längeren Beweis abgetippt. Dass es dort um Brownsche Bewegungen und so geht, ist (denke ich) ersteinmal uninteressant und ich würde mal vereinfachen zu:
[mm]\inf_{0\le x\le t}f(x)\;=\;\inf_{ x\ge\frac{1}{t}}f\left(\frac{1}{x}\right)[/mm]
mit [mm] $f:\IR\to\IR$.
[/mm]
Meine eigentliche Frage ist nun: Gilt diese Gleichung so in dieser Form? Wenn ja, wie könnte man das beweisen und welche Voraussetzungen an die Funktion [mm]f[/mm] sind noch notwendig?
Ich freue mich auf Vorschläge und schonmal vielen Dank im Voraus fürs Lesen. 
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:21 Di 19.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> [mm]\inf_{0\le x\le t}f(x)\;=\;\inf_{ x\ge\frac{1}{t}}f\left(\frac{1}{x}\right)[/mm]
>
> mit [mm]f:\IR\to\IR[/mm].
>
> Meine eigentliche Frage ist nun: Gilt diese Gleichung so in
> dieser Form? Wenn ja, wie könnte man das beweisen und
> welche Voraussetzungen an die Funktion [mm]f[/mm] sind noch
> notwendig?
Ja, gute Reduktion  Die Gleichung folgt für positive x aus [m]x\ge\frac{1}{t} \gdw t\ge\frac{1}{x}[/m], also ist in der linken Menge noch zusätzlich das Infimum über den Wert [m]f(0)[/m] mitgebildet - a priori ist es also kleiner. Wenn f jetzt zB stetig ist, ist es keine Einschränkung.
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:21 Mi 20.05.2009 | | Autor: | Mr.Teutone |
Vielen Dank.
Ich gebe mich ersteinmal mit deiner Erklärung zufrieden und auch das Argument der Stetigkeit macht Sinn. Später werde ich hier nochmal genauer nachhaken. Bis dahin.
MfG Mr.Teutone
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