Infimum - Beweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:53 Sa 05.11.2011 | | Autor: | hubbel |
| Aufgabe | Sei [mm]A\subset\IR[/mm] nach unten beschränkt mit [mm]A\not=\emptyset[/mm]. Zeigen Sie, dass für [mm]s\in\IR[/mm] folgende Aussagen äquivalent sind:
(i)s=inf A
(ii) s ist eine untere Schranke von A, und für jedes [mm]\epsilon>0[/mm] existiert ein [mm]x\inA[/mm] mit x<s+[mm]\epsilon[/mm]
(iii) s ist eine untere Schranke von A, und für jedes [mm]\epsilon>0[/mm] existiert ein [mm]x\inA[/mm] mit [mm] x\le [/mm] s+[mm]\epsilon[/mm] |
Also der Beweis soll in der Form (i)=>(ii)=>(iii)=>(i) geschehen.
1. Ich verstehe aber nicht, warum [mm]x\inA[/mm] mit x<s+[mm]\epsilon[/mm] gilt. Wenn ich z.B. sage, s ist -1 und Epsilon ist 5 und x liegt eben zwischen -1 und unendlich, kann also auch 3 sein, dann stimmt die Ungleichung nicht, denn 3<-1+2 stimmt nicht.
2. Wie würde denn so ein Beweis aussehen, als z.B. (i)=>(ii)? Bräuchte da mal einen kleinen Anstoß.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 Sa 05.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
für Mathematiker ist [mm] \epsilon [/mm] immer größer 0!
ABer es steht doch auch explizit in der aufgabe!!
(Der kürzeste Mathematiker Witz ist: ein Math. sagt;" sei epsilon kleiner 0".)
Dann sollte es jetzt einfach sein. [mm] S+\epsilon>S [/mm] aber beliebig wenig größer!
nun such noch die Def von inf raus!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Sa 05.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Oh, hab mich verschrieben, aber meinte eigentlich trotzdem, wenn Epsilon 3 ist und s z.B. -1, da kann nach der Gleichung x<-1+3, x nur noch kleiner als 2 sein und deswegen nicht mehr beliebig oder?
Und die Definition ist doch hierbei: [mm](s,\infty)[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Sa 05.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) deine Definition versteh ich nicht.
wie wortlich habt ihr infx definiert (mit unendlich hat es sicher nichts zu tun!
b) es heisst doch nur es existiert ein x<2 und nicht für jedes bel. x gilt x<2 beliebig, >0 ist nur [mm] \epsilon
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Sa 05.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Ich verstehe aber nicht, warum x<s+epsilon gelten sollte, ich würde eher x>s+epsilon verstehen.
Wie gesagt, wenn ich nämlich eine konkrete Menge nehmen, sagen wir von -1 bis 100, dann liegt x irgenwo dazwischen z.B. x=6, epsilon ist nur größer als 0 als z.B. können wir sagen epsilon=5. S ist hierbei ja ganz klar -1, dann würde aber x<s+epsilon nicht aufgehen, weil 6<-1+5 und 6 ist nicht kleiner als 4. Wo denke ich falsch?
Naja, Definition für das Infimum ist die kleinste unterste Schranke, die selber nicht in der Menge enthalten ist, im Gegensatz zum Minimum.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 Sa 05.11.2011 | | Autor: | chrisno |
Zuerst fehlt mir in der Aufgabe, dass $x [mm] \in [/mm] A$ gelten soll. Das ist doch so?
> s ist eine untere Schranke von A, und für jedes $ [mm] \epsilon>0 [/mm] $ existiert ein $ [mm] x\inA [/mm] $ mit x<s+$ [mm] \epsilon [/mm] $
Also ist ein $ [mm] \epsilon [/mm] $ gegeben. Wenn es groß ist, dann ist $s + [mm] \epsilon [/mm] $ schon weit innerhalb von A (das ist nicht mathematisch ausgedrückt, vielleicht fehlt Dir aber genau diese Vorstellung.) Da findet man nun immer ein x, dass die Bedingung erfüllt. Nun sind $ [mm] \epsilon [/mm] $ meistens eher klein, ganz ganz klein. Dann wird es spannender. Zu dem Inf wird ein ganz klein wenig dazu addiert. Egal wie klein das ist, sobald man das tut, ist man immer schon über ein $x [mm] \in [/mm] A$ hinausgegangen. Das soll gezeigt werden.
Wenn ich das so lese, würde ich an einen Widerspruchsbeweis denken.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:50 Sa 05.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Ja, natürlich ist x in A, vergessen hinzuschreiben, sorry.
Ja, ich muss die 3 Behauptungen beweisen, also aus (i) folgt (ii) und aus (ii) folgt (iii) und aus (iii) folgt wieder (i).
Also Widerspruch geht sicherlich, aber wir sollen das eher ohne machen zumindest im Moment.
Hättest du sonst noch eine Idee? Will das nicht vorgerechnet bekommen, aber ein Beispiel zum Prinzip würde mir sehr helfen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:25 Sa 05.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Schreib wirklich mal die Def von inf genau hin.
wenn x jetzt alle x größer wären als S+0.01 wär dann S ein inf?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 Sa 05.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Ich verstehe nicht, was du bei der Definiton hören möchtest. Ein Infimum ist einfach die untere Schranke einer Menge. Der Wert des Infimums wird nie erreicht sondern die Menge nähert sich an an das Infimum.
Wenn alle x größer wären als s, dann wäre es doch ein Infimum, weil es keinen Wert kleiner gibt als das Infimum in dieser Menge. Wobei das Infimum natürlich nicht in der Menge enthalten ist.
Das ganze ist ziemlich abstrakt für mich, stehe echt aufm Schlauch...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:08 So 06.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
was heisst es denn, wenn x so nahe an S rücken kann, wie man will,
inf heißt kleinste untere Schranke, das heisst 1. es gibt kein x das kleiner ist als S und 2. es gibt auch keine Schranke die größer ist. was heisst denn nun zu jedem [mm] \epsilon>0 [/mm] gibt es ein x das kleiner ist als [mm] S+\epsilon
[/mm]
die betonung liegt auf zu JEDEM (noch so kleinen) [mm] \epsilon.
[/mm]
Übrigens ein inf kann (aber muss nicht) zu der Menge gehören, dann ist es gleichzeitig ein Minimum
0 ist das inf der Menge der Zahlen x=1/n [mm] n\in\IN
[/mm]
Warum machst du nicht doch einfach einen Widerspruchsbeweis;
angenommen es gibt ein [mm] \epsilon_1 [/mm] so dass kein [mm] x\inA [/mm] existiert mit [mm] x
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:31 So 06.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Ich denke, so mache ich weiter, danke ^^
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